Behauptungen und Umkehrung

01.03.2020, 10:16

Thomas007

Behauptungen und Umkehrung

Hallo miteinander

Gegeben habe ich folgende Behauptungen:

A) In einem Rechteck halbieren sich die Diagonalen in ihrem Schnittpunkt.
B) In einem Rechteck halbieren sich die Diagonalen in ihrem Schnittpunkt und sind gleich lang.
C) Eine gerade Zahl > 4 ist als Summe von zwei Primzahlen darstellbar.

Sind folgende Umkehrungen korrekt?

A') Halbieren sich 2 Strecken gegenseitig, so sind es Diagonalen eines Rechtecks.
B') Halbieren sich 2 gleich lange Strecken gegenseitig, so sind es Diagonalen eines Rechtecks.
C') Jede Summe von zwei Primzahlen ist eine gerade Zahl > 4.

Noch zu den Wahrheiten:
A') ist wahr.
B') ist wahr.
C') ist wahr.

Stimmen diese Umkehrungen und Wahrheiten?
Danke fürs Durchlesen! smile

01.03.2020, 10:29

Bürgi

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RE: Behauptungen und Umkehrung
Guten Morgen,

Zitat:

A') Halbieren sich 2 Strecken gegenseitig, so sind es Diagonalen eines Rechtecks.

Das passiert in einem Parallelogramm auch

Zitat:

B') Halbieren sich 2 gleich lange Strecken gegenseitig, so sind es Diagonalen eines Rechtecks.

stimmt

Zitat:

C') Jede Summe von zwei Primzahlen ist eine gerade Zahl > 4.

1 + 2 ist nicht gerade und nicht größer 4
2 + 2 ist nicht größer 4

01.03.2020, 10:34

Thomas007

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RE: Behauptungen und Umkehrung
Zu A'): Ein Parallelogramm ist doch auch ein Rechteck. Oder ist das hier nicht so gemeint?

Zu C'): 1 ist zwar keine Primzahl, aber du hast dennoch recht, dass die Aussage nicht wahr ist. 2 + 3 beispielsweise wäre doch so ein Gegenbeispiel...

01.03.2020, 13:21

MaPalui

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RE: Behauptungen und Umkehrung

Zitat:

Original von Thomas007
C') ist wahr.

Hi Thomas,

dazu zwei einfache Gegenbeispiele:
$\begin{eqnarray*} 2+2 = 4 \end{eqnarray*}$ . Gerade, aber nicht echt größer als 4.
$\begin{eqnarray*} 2+3 = 5 \end{eqnarray*}$ . Echt größer als 4, aber nicht gerade.

LG
Maren

01.03.2020, 17:52

Elvis

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zu A')
dieses Parallelogramm ist kein Rechteck:

01.03.2020, 20:05

Dopap

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RE: Behauptungen und Umkehrung

Zitat:

Original von Bürgi

Zitat:

C') Jede Summe von zwei Primzahlen ist eine gerade Zahl > 4.

1 + 2 ist nicht gerade und nicht größer 4
2 + 2 ist nicht größer 4

1 zählt nicht zu den Primzahlen.
$\begin{eqnarray*} 2+17 \end{eqnarray*}$ ist nicht gerade, dabei ist es unerheblich ob doppelte Primzahlen auch die Voraussetzung erfüllen.

01.03.2020, 20:39

klauss

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RE: Behauptungen und Umkehrung

Zitat:

Original von Thomas007
Zu A'): Ein Parallelogramm ist doch auch ein Rechteck.

Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, aber nicht jedes Parallelogramm ist ein Rechteck.

Zitat:

Original von Bürgi
B') Halbieren sich 2 gleich lange Strecken gegenseitig, so sind es Diagonalen eines Rechtecks.
stimmt

$\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{CD} \end{eqnarray*}$ sind bislang keine Diagonalen eines Rechtecks, aber man könnte sie durch Ergänzung des Bildes dazu machen.
Genügt für die Richtigkeit der Aussage bereits die bloße Möglichkeit?

01.03.2020, 21:30

Leopold

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Die Formulierung

B') Halbieren sich 2 gleich lange Strecken gegenseitig, so sind es Diagonalen eines Rechtecks.

ist flott formuliert und in strengem Sinn folgendermaßen zu lesen: "Halbieren sich zwei gleich lange Strecken, so gibt es ein Rechteck, in dem diese Strecken die Diagonalen sind."
Hinweis zum Beweis: Man kann um den Schnittpunkt der beiden Strecken einen Kreis zeichnen, der durch die vier Streckenenden geht. Dann den Satz des Thales anwenden.

@ klauss: Warum zeichnest du die beiden Strecken unter einem rechten Winkel? Dieser sehr spezielle Fall könnte jemanden zu voreiligen Schlüssen führen.

01.03.2020, 21:41

klauss

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Ich wollte nur zu bedenken geben:
"Halbieren sich zwei gleich lange Strecken, so entstammen diese einem Rechteck, dessen Diagonalen sie sind."
wäre zu flott gedacht/formuliert.
Ich hätte auch zwei Durchmesser eines Kreises skizzieren können.
Zur Klarstellung genügt mir aber:

Zitat:

Original von Leopold
in strengem Sinn folgendermaßen zu lesen: "Halbieren sich zwei gleich lange Strecken, so gibt es ein Rechteck, in dem diese Strecken die Diagonalen sind."

02.03.2020, 13:31

Thomas007

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Vielen Dank euch allen für eure Beiträge!

Eine letzte Frage habe ich noch: Die Aussage "Eine irrationale Zahl ist die Wurzel einer Primzahl." ist falsch, oder?

02.03.2020, 13:41

G020320

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Aus welcher Primzahl soll pi die Wurzel sein?
Wurzel aus 10 ist irrational, aber 10 keine Primzahl.
Man kann nur sagen, dass die Wurzel aus Primzahlen irrational sind.

02.03.2020, 13:52

Thomas007

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Ok, ich wollte da nur sicher gehen. smile

Zum Schluss noch die Goldbachsche Vermutung: "Eine gerade Zahl grösser als 4 ist als Summe von zwei Primzahlen darstellbar.

Stimmt hierzu die folgende Umkehr-Formulierung?
"Wenn eine Zahl als Summe von zwei Primzahlen darstellbar ist, ist sie gerade und grösser als 4."

02.03.2020, 14:43

Elvis

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Dafür findest du mühelos unendlich viele Gegenbeispiele.

02.03.2020, 19:24

Thomas007

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Ich weiss. Aber stimmt es, wie ich die Umkehrung gebildet und formuliert habe?

02.03.2020, 19:57

Elvis

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Ach, so ist das gemeint. Ja, dann stimmt das, obwohl es falsch ist. Big Laugh