Zahl algebraisch über IQ?

01.03.2020, 21:12

Abendträumer

Zahl algebraisch über IQ?

Meine Frage:
Servus,

nur eine kurze Frage: Ich soll zeigen, dass

wurzel(7) + 3i + 4

algebraisch ist über IQ.

Meine Ideen:
Kann ich mir die Arbeit da etwas leichter machen und sagen: Wenn

wurzel(7) + 3i

algebraisch ist über IQ, dann auch garantiert wurzel(7) + 3i + 4 ?

01.03.2020, 21:41

Elvis

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Ja.

01.03.2020, 21:53

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Ja.

Das hängt natürlich davon ab, wie viele Eigenschaften algebraischer Zahlen dem Fragesteller schon bekannt sind. Im übrigen kann man ja auch unmittelbar ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten angeben, das die vorliegende Zahl als Nullstelle besitzt. Einfach nach den Wurzeln auflösen und sie durch Quadrieren zum Verschwinden bringen. Der erste Schritt könnte sein:

$\begin{align*} \vartheta = 4 + \sqrt{7} + 3 \operatorname{i} \end{align*}$

$\begin{align*} \vartheta - 4 - \sqrt{7} = 3 \operatorname{i} \end{align*}$

$\begin{align*} \left( \vartheta - 4 - \sqrt{7} \right)^2 = -9 \end{align*}$

$\begin{align*} \vartheta^2 - 2 \sqrt{7} \, \vartheta -8 \vartheta +8 \sqrt{7} + 23 = -9 \end{align*}$

Jetzt die Terme mit $\begin{align*} \sqrt{7} \end{align*}$ zusammenfassen, danach auflösen und nochmals quadrieren.

02.03.2020, 10:21

Abendträumer

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Zitat:

Original von Leopold
Im übrigen kann man ja auch unmittelbar ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten angeben, das die vorliegende Zahl als Nullstelle besitzt. Einfach nach den Wurzeln auflösen und sie durch Quadrieren zum Verschwinden bringen. Der erste Schritt könnte sein:

$\begin{align*} \vartheta = 4 + \sqrt{7} + 3 \operatorname{i} \end{align*}$

$\begin{align*} \vartheta - 4 - \sqrt{7} = 3 \operatorname{i} \end{align*}$

$\begin{align*} \left( \vartheta - 4 - \sqrt{7} \right)^2 = -9 \end{align*}$

$\begin{align*} \vartheta^2 - 2 \sqrt{7} \, \vartheta -8 \vartheta +8 \sqrt{7} + 23 = -9 \end{align*}$

Jetzt die Terme mit $\begin{align*} \sqrt{7} \end{align*}$ zusammenfassen, danach auflösen und nochmals quadrieren.

Genauso habe ich es gemacht, nur halt ohne "+4" smile

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Elvis
Ja.

Das hängt natürlich davon ab, wie viele Eigenschaften algebraischer Zahlen dem Fragesteller schon bekannt sind

Wir hatten leider keinen Satz dazu. Ich dachte mir das so: Wenn $\begin{eqnarray*} X^n+...+a_1X+a_0 \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit Nullstelle $\begin{eqnarray*} \sqrt{7}+ 3i \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (X-4)^n+...+a_1(X-4)+a_0 \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit Nullstelle $\begin{eqnarray*} \sqrt{7}+ 3i + 4 \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so?

02.03.2020, 10:58

Elvis

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Satz. Algebraische Erweiterungen von algebraischen Erweiterungen sind algebraische Erweiterungen über dem Grundkoerper.
Oder : Satz vom primitiven Element (wenn das nicht zu dick aufgetragen ist).

02.03.2020, 12:29

Abendträumer

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Okay... damit willst du sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{7}+i+4)/\mathbb Q= \mathbb Q (\sqrt{7}+i, 4)/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ algebraisch ist, wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{7}+i)/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ algebraisch ist?

Stimmt dann das nicht?:

Zitat:

Original von Abendträumer
Ich dachte mir das so: Wenn $\begin{eqnarray*} X^n+...+a_1X+a_0 \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit Nullstelle $\begin{eqnarray*} \sqrt{7}+ 3i \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (X-4)^n+...+a_1(X-4)+a_0 \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit Nullstelle $\begin{eqnarray*} \sqrt{7}+ 3i + 4 \end{eqnarray*}$ .

02.03.2020, 13:01

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \sqrt 7+3i + 4\in \mathbb Q(\sqrt 7+3i)\subseteq \mathbb Q(\sqrt 7,i) =\mathbb Q(\sqrt 7)(i) \end{eqnarray*}$ , und dieser biquadratische Körper ist algebraisch über seinen algebraischen quadratischen Teilkörpern, also algebraisch über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , also sind alle seine Elemente algebraisch.

Was du mit einzelnen Elementen machst, ist auch richtig. Alle Wege führen nach Rom, nur manche sind länger und beschwerlicher, andere kürzer und bequemer. Leopold hat ja zu Anfang schon gesagt, dass wir nicht wissen, welche Sätze du kennst.

02.03.2020, 14:41

Abendträumer

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Danke euch!

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