Umkehrfunktion bestimmen

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SaureGrukenFan Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion bestimmen
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = x^5 + 3x + 1 auf ihrem größtmöglichen Definitionsbereich umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion g(x) sowie die Steigung der Umkehrfunktion an der Stelle 5.

Meine Ideen:
Hallo, ich habe Probleme die Umkehrfunktion zu bestimmen.

Um die Umkehrbarkeit zu zeigen würde ich wie folgt argumentieren:
-> Alle Polynome sind stetig
-> Ungerade Polynome laufen immer gegen inf(-) bzw inf(+)
Rechnerisch würde ich die Grenzwerte gegen inf(-) bzw inf(+) bestimmen.

Beim bestimmen der Umkehrfunktion hänge ich fest. Wie löse ich x auf?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SaureGrukenFan
Um die Umkehrbarkeit zu zeigen würde ich wie folgt argumentieren:
-> Alle Polynome sind stetig
-> Ungerade Polynome laufen immer gegen inf(-) bzw inf(+)
Rechnerisch würde ich die Grenzwerte gegen inf(-) bzw inf(+) bestimmen.

All das trifft auch auf mit zu, aber diese Funktion ist (im Gegensatz zu ) jedoch nicht umkehrbar.

Es muss also noch was anderes geben, denk nochmal genau nach. Vielleicht hilft dabei ein Plot beider Funktionen und :

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion bestimmen
Zitat:
Original von SaureGrukenFan
Hallo, ich habe Probleme die Umkehrfunktion zu bestimmen.


Das sollst du auch gar nicht. Du sollst nur die Umkehrbarkeit zeigen.

EDIT
Tipp im Sinn des Boardprinzips entfernt (siehe Beitrag von HAL)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch ein grafisches Verfahren zur Bestimmung der Umkehrfunktion (habe ich in der Schule gelernt), und wenn man das benutzt, erkennt man deren Steigung an der Stelle x=5.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sind differenzierbare Umkehrfunktionen voneinander, dann folgt, wenn gilt: . In der Aufgabe ist . Jetzt fehlt noch das korrespondierende . Das kann man aber in HALs Zeichnung ablesen und durch Nachrechnen verifizieren.

(Die Originalformulierung der Aufgabe, so sie richtig wiedergegeben wurde, ist laut SaureGrukenFan: … und bestimmen Sie die Umkehrfunktion g(x) sowie die Steigung der Umkehrfunktion an der Stelle 5. Das ist in der Tat unsauber formuliert. Besser wäre: … und bestimmen Sie und .)
SaureGrukenFan Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten und danke für die Zeichnung HAL 9000. Damit konnte ich mein Problem sehen aber noch nicht wirklich beschreiben.

Mit der Ableitung der Umkehrfunktion habe ich auch schon herumgespielt. Allerdings stehe ich da auf dem Schlauch. Ich brauche doch die Umkehrfunktion für die Formel.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SaureGrukenFan
Ich brauche doch die Umkehrfunktion für die Formel.


Nein, die brauchst du nicht. Sobald du die Relation für ein konkretes Paar hast, kannst du berechnen. Ich gebe dir einmal ein Beispiel.





Konkret etwa . Da eine Umkehrfunktion besitzt (wie du vorher ja zeigen mußt), gilt dann und .
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