Lineare Abbildung |
| 02.03.2020, 16:09 | wallflower97 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lineare Abbildung Hallo, ich habe folgende Frage: Ist die lineare Abbildung F:2 -> 3 mit Rang 2 injektiv, surjektiv oder bijektiv? Meine Ideen: Zuerst dachte ich es ist injektiv, aber dann habe ich gelesen, dass der Rang einer linearen Abbildung = der Dimension des Bildes ist, und das hat mich verwirrt... Ich hoffe jemand kann mir so schnell wir möglich helfen. 
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| 02.03.2020, 18:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ganz klar injektiv, weil der Rang der linearen Abbildung gleich der Dimension des Bildraums ist. Beweis: nach dem Rangsatz. |
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| 03.03.2020, 22:08 | RomanGa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| surjektiv Jetzt wissen wir, dass F injektiv ist. Bleibt die Frage, ob F surjektiv ist. Ich denke, dass eine Abbildung von einem Vektorraum der Dimension 2 in einen Vektorraum der Dimension 3 nicht surjektiv sein kann, habe aber in Wikipedia keine Beleg gefunden. google Surjektivität und Dimensionen -> Treffer 1 -> https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3...imensionsformel -> Sind zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume V und W zueinander isomorph, so gilt dim V = dim W. Damit ist gezeigt, dass F nicht surjektiv ist. Stimmt das so? |
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| 03.03.2020, 22:50 | RomanGa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: surjektiv Ich präzisiere das: Damit ist gezeigt, dass F nicht bijektiv ist. Da F injektiv ist, ist F nicht surjektiv. Stimmt das so? |
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| 04.03.2020, 07:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Rang von F=2, also ist der Bildraum ein 2-dimensionaler UVR von R^3, also F nicht surjektiv, also F nicht bijektiv. Anschaulich : Eine 2-dimensionsionale Ebene ist kein 3-dimensionaler Raum. |
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| 04.03.2020, 11:04 | RomanGa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| surjektiv, bijektiv Okay, alles klaro, danke. |
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