Sicherheitsintervalle Stichprobengröße gesucht

02.03.2020, 20:59

MrXeth

Sicherheitsintervalle Stichprobengröße gesucht

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem bei einer Aufgabe:

Gesucht: Stichprobenumfang n

Gegeben: Sicherheitswahrscheinlichkeit 95%, Genauigkeit von 1%, p = 0.05

Wie komme ich von da auf n?

Meine Ideen:
Formel aus dem Lösungsbuch:

p1 >= 1.96 * sqrt(p*(1-p)/n)

Leider habe ich keine Ahnung, wie diese Formel zustande kommt..
Meine Ansätze sind:

n * p >= 1.96 * sqrt(p*(1-p)/n)

(Erwartungswert >= das Intervall aus: [u-1.96o, u+1.96o]

Wenn man nun durch n Teilt, bekommt man eine ähnliche Formel, wie die oben genannte, nur verstehe ich nicht, wie man auf zwei unterschiedliche p Werte kommt.

03.03.2020, 09:43

Huggy

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RE: Sicherheitsintervalle Stichprobengröße gesucht
Anscheinend geht es darum, ein Konfidenzintervall für den Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ einer Binomialverteilung zu bestimmen, wobei die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden soll. Dann ist das im Prinzip richtig, wobei im Lösungsbuch sicher nicht $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ steht.

Zitat:

Original von MrXeth
Formel aus dem Lösungsbuch:

p1 >= 1.96 * sqrt(p*(1-p)/n)

Eine korrekte Formulierung wäre:

$\begin{eqnarray*} [p_u, p_o]=\hat p \mp \Phi^{-1}(1-\frac {\alpha}{2})\sqrt {\frac {\hat p (1-\hat p)}{n}} \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} p_u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_o \end{eqnarray*}$ die Unter- und Obergrenze des Konfidenzintervalls, $\begin{eqnarray*} \hat p \end{eqnarray*}$ der beobachtete Anteil der Erfolge in der Stichprobe, $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ ist die Quantilfunktion der Standardnormalverteilung und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ das Irrtumsniveau. Bei dir wäre

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(1-\frac {\alpha}{2}) \approx 1.96 \end{eqnarray*}$

So ähnlich sollte das auch in deinem Lösungsbuch stehen.

Zitat:

Leider habe ich keine Ahnung, wie diese Formel zustande kommt..
Meine Ansätze sind:

Das ergibt sich aus der Formel für das Konfidenzintervall für den Parameter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ einer Normalverteilung bei bekannter Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ aus einer Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} [\mu_u, \mu_o]=\hat \mu \mp \Phi^{-1}(1-\frac {\alpha}{2})\frac {\sigma}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

Wenn man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähert, sind in dieser Formel folgende Ersetzungen zu machen:

$\begin{eqnarray*} \hat \mu \rightarrow n \hat p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\sigma}{\sqrt n} \rightarrow \sqrt {n \hat p (1- \hat p)} \end{eqnarray*}$

Das führt zu:

$\begin{eqnarray*} [n p_u, n p_o]=n \hat p \mp \Phi^{-1}(1-\frac {\alpha}{2})\sqrt {n \hat p (1- \hat p)} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilt, kommt man zu dem oben angegebenen $\begin{eqnarray*} [p_u, p_o \end{eqnarray*}$ ].

03.03.2020, 13:21

MrXeth

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Moin, wie kann ich das ganze denn nach n >= 1825 auflösen?

Also es ist nach n gesucht bei einer Genauigkeit von 0.01.

03.03.2020, 14:18

Huggy

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Zitat:

Original von MrXeth
Moin, wie kann ich das ganze denn nach n >= 1825 auflösen?

Also es ist nach n gesucht bei einer Genauigkeit von 0.01.

Das benötigte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hängt davon ab, ob die geforderte Genauigkeit absolut oder relativ zu dem beobachteten $\begin{eqnarray*} \hat p=0.05 \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Aus dem von dir genannten Ergebnis kann man rückwärts schließen, dass sie absolut gemeint ist, d. h. das Konfidenzintervall soll $\begin{eqnarray*} 0.05 \mp 0.01 \end{eqnarray*}$ sein. Dann ist die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0.01= 1.96\sqrt {\frac {\hat p (1-\hat p)}{n}} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \hat p=0.05 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

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