Maßraum

04.03.2020, 22:31	lauralisa1	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßraum Meine Frage: Hallo zusammen. Ich habe die folgende Aufgabe (siehe Anhang 1). Die Definition von einem Maßraum (siehe Anhang 2 bzw. 3). Meine Ideen: Also muss ich die 2 Eigenschaften (siehe Anhang 2 bzw 3) zeigen: Zu (1): Es gilt $\begin{eqnarray} u(\{ \})=\| \{ \}\|=0 \end{eqnarray}$ zu (2): Hier komme ich nicht weiter.. wie sollte ich am besten vorgehen ? Ein Versuch: 1. Fall:Sei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } u(A_{k}) < \infty \end{eqnarray}$ dann existiert mindestens ein $\begin{eqnarray} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sodass gilt: $\begin{eqnarray} u ( A_{k} )=0 \forall k>= n_{0} \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} A_{k} =0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k>=n_{0}. \end{eqnarray}$ . Also gilt: $\begin{eqnarray} u( \bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k} )= u ( \bigcup_{k=1}^{n=n_{0}-1} A_{k} \cup \bigcup_{k=n_{0}}^{\infty } A_{k} ) = u(A_{1} \cup ...\cup A_{n} )= \| A_{1}\cup ...\cup A_{n}\|= \|A_{1}\|+...+ \|A_{n}\|= \sum\limits_{k=1}^{n} u(A_{k}) = \sum\limits_{k=1}^{n} u(A_{k}) +\sum\limits_{k=n_{0}}^{\infty } u(A_{k}) =\sum\limits_{k=1}^{\infty } u(A_{k}) \end{eqnarray}$ 2. Fall: Sei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } u(A_{k}) = \infty \end{eqnarray}$ dann (i) existiert mindestens ein $\begin{eqnarray} k_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u(A_{k_{0}})=\infty \end{eqnarray}$ und somit würde folgendes gelten: $\begin{eqnarray} u(\bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k}) =\infty =\sum\limits_{k=1}^{\infty }u( A_k) \end{eqnarray}$ . (ii) oder es gibt kein $\begin{eqnarray} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sodass: $\begin{eqnarray} u ( A_{k} )=0 \forall k>= n_{0} \end{eqnarray}$ gilt. wäre der Beweis so okay ? Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

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