Vollständige Induktion einer Summe

05.03.2020, 17:51

lichtgarage

Vollständige Induktion einer Summe

Liebe Alle,

ich habe ein Induktionsbeispiel zu lösen, bei dem mir der Anfang eine Schwierigkeit bereitet. Die Induktion an sich beherrsche ich, allerdings bin ich mir hier nicht sicher wie man beginnen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k) = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} \end{eqnarray*}$

Das verwirrende für mich ist, dass n und k auf der linken Seite vorkommen. Setze ich nun k = 0 für den IA bekomme ich n^2 als Ergebnis und Rechts vom = bekomme ich 0/6.

Wie ist der Beginn zu tätigen - und warum? (Schließlich will ich ja was lernen).

Vielen Dank für eure Hilfe!

05.03.2020, 18:05

Elvis

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Du möchtest eine Induktion über n machen, also lautet der Induktionsanfang

n=1: LS=(1+0)(1-0)=1, RS=1*(1+1)*(4-1)/6=1*2*3/6=1

05.03.2020, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von lichtgarage
bei dem mir der Anfang eine Schwierigkeit bereitet. Die Induktion an sich beherrsche ich

Da bin ich ja gespannt, denn bei mir ist eher umgekehrt: Der Induktionsanfang ist kein Problem, aber ich sehe hier keinen sinnvollen Induktionsschritt - jedenfalls keinen, der ohne Summandenzerlegung (sprich: Abtrennung von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}n^2 = n^3 \end{eqnarray*}$ ) auskommt.

06.03.2020, 21:55

Luftikus

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von lichtgarage
bei dem mir der Anfang eine Schwierigkeit bereitet. Die Induktion an sich beherrsche ich

Mit ein paar Umformungen geht das:
" $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$ "
$\begin{eqnarray*} (n+1+k)(n+1-k)=(n+(k+1))(n-(k+1))+2(n+1+k) \end{eqnarray*}$

Jetzt ergänzt man zur Summe und nutzt die Induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n = \sum_{k=0}^{n-1} .. + .. \end{eqnarray*}$

Man erhält so die gesuchte Summe für n+1:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(4 n^2+11 n + 6)}{6} \end{eqnarray*}$

07.03.2020, 01:15

HAL 9000

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Und die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$ setzt du voraus bzw. machst eine eigene Induktion dafür?

Ja klar "geht" das irgendwie, klingt aber alles nach einer überumständlichen Prozedur: Da kann man auch gleich die Summenformel für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \end{eqnarray*}$ voraussetzen (oder beweisen) und dann das ganze für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k) = n^3 - \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \end{eqnarray*}$ nutzen - das meinte ich oben. Augenzwinkern

07.03.2020, 01:46

Luftikus

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Nein, man summiert dann über $\begin{eqnarray*} k'=k+1 \end{eqnarray*}$

Ich schreibe das mal explizit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (n+1+k)(n+1-k)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k'=0}^{n-1} (n+k')(n-k')-(n^2+2n+1)+2 \cdot \sum_{k=0}^n (n+1+k) \end{eqnarray*}$

Dabei stammt der erste Beitrag (..) aus der Summengrenze und die zweite Summe von k'.

Jetzt den Beitrag (..) und zweite Summe auswerten und Induktionsvoraussetzung verwenden.

07.03.2020, 09:21

Leopold

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Im Induktionsschritt könnte man so rechnen:

$\begin{align*} \sum_{k=0}^n \left( (n+k) + 1 \right) \left( (n-k) + 1 \right) \ = \ \sum_{k=0}^n \left( (n+k)(n-k) + (2n+1) \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = \ \sum_{k=0}^n (n+k)(n-k) \ + \ \sum_{k=0}^n (2n+1) \ = \ \sum_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k) \ + \ (n+1)(2n+1) \end{align*}$

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