Stetige Funktion von zusammenhängender Menge auf Q konstant

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Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion von zusammenhängender Menge auf Q konstant
Meine Frage:
Sei U eine offene, nichtleere zusammenhängende Menge. Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion
f: U -> konstant ist,

Meine Ideen:
Ich habe hier 2 Ansätze, die bis jetzt leider beide zu nichts geführt haben:
1. Ansatz:
Ich nehme eine Funktion g: U->Q->R , also f mit der Inklusion verknüpft. Dann verwende ich den Satz, dass das Bild einer zusammenhängenden Menge unter einer stetigen Abbildung wieder zusammenhängend ist. Damit könnte man womöglich ein Kontrapositiv basteln, ich komme aber nicht darauf, wie das geht.
2. Ansatz: Ich betrachte wieder die genannte Funktion g und wähle in R ein Intervall, dessen Randpunkte in R\Q liegen. Dieses Intervall nehme ich einmal offen und einmal abgeschlossen. Nach dem Satz, dass Urbilder offener (abgeschlossener) Mengen unter stetigen Funktionen wieder offen (abgeschlossen) sind. Meine Idee ist, so unter der Annahme, dass f (und damit g) nicht konstant sind, eine abgeschloffene Menge in U zu finden, die nicht leer oder der ganze Raum ist und dann damit folgern, dass f konstant sein muss.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja der erste Ansatz mit der Randpunktidee aus dem zweiten Ansatz passt doch schon fast.
Seien mit , dann exisiert , so dass gilt.
Betrachte nun die Intervalle und .
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