LR-Zerlegung einer singulären (?) Matrix

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laienstefan Auf diesen Beitrag antworten »
LR-Zerlegung einer singulären (?) Matrix
Hi!

Ich habe folgendes Problem gegeben:



Zu bestimmen ist die LR-Zerlegung, dann soll ein LGS gelöst werden. Die LR-Zerlegung habe ich wie folgt bestimmt:



Die Matrix A halt also Rang 2 und ist damit singulär, oder? Naja, die Aufgabe lautet dann Lösen für zwei gegebene rechte Seiten b, also wollte ich einfach mal weitermachen:

Ax = LRx = b

Zuerst wird durch Vorwärtseinsetzen Ly=b gelöst, anschließend durch Rückwärtseinsetzen Rx=y.

Vorwärts:



Löst man die Gleichungen spaltenweise auf, erhält man



Rückwärts:



Man sieht, dass in der letzten Zeile 0=1 steht. Wie kann das sein?

Ich habe ich mir dann L, R und P von Matlab ausgeben lassen. Matlab scheint immer zu pivotisieren, obwohl das hier imho nicht nötig ist, da die 0-Zeile ohnehin ganz unten steht (und man nie durch 0 teilen müsste, was in erster Linie das Pivotisieren erforderlich machen würde). Matlab macht also Folgendes, denke ich aufgrund der ausgespuckten Lösung:



Außerdem

So weit, so gut. Matlab gibt weiterhin aus:



Wenn ich L aus den Gauß-Schritten selbst bilde, sind bei mir die Elemente l_{21} und l_{31} vertauscht, denn ich ziehe ja 2/3 z_1 von z_2 ab und 1/3 z_1 von z_3 und nicht andersrum. Wo liegt hier mein Fehler?
Weiter gerechnet habe ich noch nicht.

Die zwei Fragen sind also:
1. Für singuläre Matrizen sollte ein LGS doch nicht eindeutig lösbar sein, erhalte ich deshalb den Fehler? Ich hätte vielleicht schon aufgehört zu rechnen, als ich rang(A)=2 gesehen habe.
2. Siehe oben:
Wenn ich L aus den Gauß-Schritten selbst bilde, sind bei mir die Elemente l_21 und l_31 vertauscht, denn ich ziehe ja 2/3 z_1 von z_2 ab und 1/3 z_1 von z_3 und nicht andersrum. Wo liegt hier mein Fehler?
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