Lösungsverhalten LGS

06.03.2020, 16:40

xJay

Lösungsverhalten LGS

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & a & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & - 1 \\ a & 1 & 3 & 1 \\ 1 & - 2 & b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie, für welche a, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R dieses Gleichungssystem eindeutig
lösbar ist, ohne das Gleichungssystem explizit zu lösen.

Meine Ideen:
Da Ax=b eindeutig lösbar ist wenn A invertierbar ist, habe ich die Determinante von A ausgerechnet und bekomme folgendes raus: $\begin{eqnarray*} -17a+30-b+ax^{2} \end{eqnarray*}$ . Normalerweise müsste ich ja jetzt die Nullstellen (b=a^2-17a+30) ausschließen. Aber was ist nun die Lösung?

06.03.2020, 16:42

MaPalui

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Wieso kommt in der determinante von A denn b als Parameter vor?

06.03.2020, 16:47

xJay

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Habe das b vergessen, steht jetzt oben.

06.03.2020, 16:57

xJay

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Determinante von a ist: $\begin{eqnarray*} a^{2}b+2ab-8b \end{eqnarray*}$
und a= $\begin{eqnarray*} \frac{-2b\pm6\sqrt{b^{2} } }{2b} \end{eqnarray*}$

06.03.2020, 17:09

MaPalui

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Alles klar. Ob die determinante so stimmt kann ich gerade nicht nachrechnen. Betrachte noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{b^2}=|b| \end{eqnarray*}$ .
Und nun die nullstellen, ganz recht.
Was ist genau deine Frage?

06.03.2020, 17:42

xJay

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also die Lösung wäre ja dass das LGS für alle Werte mit Ausnahme der Nullstellen der det. eindeutig lösbar wäre.
Ich stehe grad nur irgendwie ein bisschen auf dem Schlauch was jetzt die Nullstellen sind, bzw. wie ich auf diese komme (da wir ja eigentlich 2 Unbekannte haben).

06.03.2020, 17:50

Elvis

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Warum wendest du nicht einfach den Gauß-Algorithmus an ?

06.03.2020, 17:51

xJay

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weil in der aufgabe steht ohne es explizit zu lösen, also wollte ich den Weg über die Determinante gehen.

06.03.2020, 17:56

MaPalui

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Betrachte die von dir ausgerechnete determinante, ohne Auflösung nach einer Variablen.
Welche nullstelle (Achtung: zwei Koordinaten) kannst du sofort erkennen ?

06.03.2020, 17:58

Dopap

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RE: Lösungsverhalten LGS

Zitat:

Original von xJay
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & a & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & - 1 \\ a & 1 & 3 & 1 \\ 1 & - 2 & b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist kein lineares Gleichungssystem.

du meinst wohl so was:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & a & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & - 1 \\ a & 1 & 3 & 1 \\ 1 & - 2 & b & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn dir das zu viel ist, dann symbolisch so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c}a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.03.2020, 18:02

xJay

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Es steht als LGS mit x1,x2,x3,x4 in der Aufgabe. Sorry.

06.03.2020, 18:23

xJay

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habe jetzt a=2 ; a=-4 ; b=0
also für alle außer diese lösbar?

06.03.2020, 19:05

Elvis

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Eindeutig lösbar, ja, genau dann wenn die Determinante ungleich 0 ist. Die Determinante und ihre Nullstellen hast du auch richtig berechnet. So weit so gut.
Wann ist das LGS lösbar ? Wie sehen die Lösungen aus ? Auch wenn das nicht zur Aufgabe gehört, ist es doch für jeden Mathematiker unbefriedigend, auf halbem Wege stehen zu bleiben.

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