Wahrscheinlichkeit, 8 Niederlagen bei unendlicher Zahl von Spielen aufzuholen

07.03.2020, 02:55

Snookz

Wahrscheinlichkeit, 8 Niederlagen bei unendlicher Zahl von Spielen aufzuholen

Meine Frage:
Wir spielen ein Spiel, in dem wir eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 40 % besitzen. Angenommen, wir haben bereits 8 Spiele verloren, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer unendlichen Anzahl von weiteren Spielen diese 8 Niederlagen auszugleichen?
Sobald wir unsere 8 Niederlagen ausgeglichen haben, beenden wir das Spiel.

Meine Ideen:
Rein Intuitiv hätte ich gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit 100 % beträgt. In einer unendlichen Folge von Spielen muss irgendwann der Moment eintreten, in dem wir 8 Spiele mehr gewonnen als verloren haben. Da die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis > 0 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir irgendwann genau so viele Siege wie Niederlagen haben, 1.

07.03.2020, 06:01

early

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RE: Wahrscheinlichkeit, 8 Niederlagen bei unendlicher Zahl von Spielen aufzuholen
Da Unendlich nicht definiert ist, kann man keine Berechnung anstellen.
Man kann nur mit konkreten Zahlen rechnen.
Die WKT, 8-mal hintereinander zu gewinnen ist: 0,4^8.

Die WKT, dass bei 1000 000 Spielen mit je 8 Versuchen mindestens 1-mal dieses Ereignis auftritt ist:

1- (1-0,4^8)^1000 000 = 1-0 =1 (gerundet)

Zitat:

In einer unendlichen Folge von Spielen muss irgendwann der Moment eintreten, in dem wir 8 Spiele mehr gewonnen als verloren haben

Diese Formulierung ist nicht ganz klar. Was heißt "mehr als"? Mehr als was?

Wenn ein Affe unendlich Zeit hat beim Tippen auf einer Schreibmaschine, wirst er irgendwann
auch den FAUST von Goethe getippt haben, auch wenn die WKT extrem gering ist.
Sie ist extrem niedrig, aber nicht Null. Vermutlich müsste ein zig-faches der Zeit zur
Verfügung stehen, die seit dem Urknall vergangenen ist.
Er wäre interessant, diese Zahl irgendwie zu berechnen, auch wenn es völlig sinnlos bzw.
absurd ist.
Schon 1000 Buchstaben zufällig richtig zu tippen dauert "ewig", wenn man alle Möglichkeiten
berücksichtigt.
Die WKT ist 1/26^1000 (bei 26 Kleinbuchstaben).
Schaffte man 750 Anschläge pro Minute (Weltrekord), dauert das ca. 2*10^1400 Jahre
Bis dahin ist das letzte schwarze Loch schon längst verdampft. Augenzwinkern

07.03.2020, 08:01

Ulrich Ruhnau

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RE: Wahrscheinlichkeit, 8 Niederlagen bei unendlicher Zahl von Spielen aufzuholen

Zitat:

Original von Snookz
Meine Frage:
Wir spielen ein Spiel, in dem wir eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 40 % besitzen. Angenommen, wir haben bereits 8 Spiele verloren, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer unendlichen Anzahl von weiteren Spielen diese 8 Niederlagen auszugleichen?
Sobald wir unsere 8 Niederlagen ausgeglichen haben, beenden wir das Spiel.

Um der Lösung ein bisschen näher zu kommen, gehen wir am besten von der Binomialverteilung aus. Sei $\begin{eqnarray*} p=0{,}4 \end{eqnarray*}$ die Gewinnwahrscheinlichkeit. Dann ist die Wahrscheinlichkeit nach n Spielen k mal gewonnen zu haben

$\begin{eqnarray*} B(n,p,k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit genau 8 mal öfter zu gewinnen als zu verlieren beträgt

$\begin{eqnarray*} B(n,\frac n2+4,k)=\binom{n}{\frac n2+4}p^{\frac n2+4}(1-p)^{\frac n2-4} \end{eqnarray*}$

wobei n geradzalig sein muß. Also nach 8 Spielen könnte man mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p^8 \end{eqnarray*}$ ausgleichen. Aber falls es nach 8 Spielen nicht gelingt, wird es nach 9 Spielen auch nicht gelingen. Nach 10 Spielen ist ein Ausgleich mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \binom {10}{9}p^9(1-q)^1 \end{eqnarray*}$ möglich. Wobei das aber auch noch nicht ganz hilfreich ist, denn um Wahrscheinlichkeiten addieren zu können, müssen sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen. Wir müssen also die Wahrscheinlichkeit bestimmen, nach 10 Versuchen auszugleichen, unter der Nebenbedingung, daß nach 8 Versuchen noch nicht ausgeglichen wurde. Deshalb hat der Spieler in diesem Fall bei seinen Spielen mindestens ein mal verloren.

Ab hier breche ich das mit der Erkenntnis ab, daß wir eine gute Rekursion brauchen.

07.03.2020, 08:18

early

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RE: Wahrscheinlichkeit, 8 Niederlagen bei unendlicher Zahl von Spielen aufzuholen

Zitat:

Angenommen, wir haben bereits 8 Spiele verloren, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer unendlichen Anzahl von weiteren Spielen diese 8 Niederlagen auszugleichen?Sobald wir unsere 8 Niederlagen ausgeglichen haben, beenden wir das Spiel.

Zitat:

In einer unendlichen Folge von Spielen muss irgendwann der Moment eintreten, in dem wir 8 Spiele mehr gewonnen als verloren haben.

Ich finde das verwirrend. Welche WKT genau soll hier berechnet werden?
Das müsste erstmal klar formullert werden.

@Ulrich:
Wie genau verstehst du die Frage? Je länger ich nachdenke, umso seltsamer erscheint
sie mir. verwirrt

Was genau soll deiner Ansicht berechnet werden?

07.03.2020, 10:35

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeit, 8 Niederlagen bei unendlicher Zahl von Spielen aufzuholen

Zitat:

Original von Snookz
Rein Intuitiv hätte ich gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit 100 % beträgt.

Da täuscht die Intuition, aber nur ein wenig. Ob die Wahrscheinlichkeit 100 % beträgt, hängt von der Gewinnwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ab. Bei $\begin{eqnarray*} p=0.4 \end{eqnarray*}$ ist sie kleiner als 100 %.

Das ist ein Problem des eindimensionalen random walk. Man befindet sich irgendwo auf dem Zahlenstrahl der ganzen Zahlen. In jeder Runde bewegt man sich mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nach rechts und mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nach links. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass man irgendwann einmal eine Position $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ weiter rechts erreicht.

Es sei $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass man irgendwann einmal eine Position $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ weiter rechts erreicht. Es sei zunächst der Fall $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ betrachtet. Mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ wird das schon in der ersten Runde erreicht. Mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ ist man nach der ersten Runde $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Schritte links von der Zielposition und muss von dort irgendwann zur Zielposition kommen. Man hat also:

$\begin{eqnarray*} P_1=p+(1-p)P_2 \end{eqnarray*}$

Um irgendwann $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Schritte nach rechts zu kommen, muss man zunächst irgendwann mal einen Schritt nach rechts kommen und dann noch mal irgendwann einen weiteren Schritt nach rechts. Es ist daher

$\begin{eqnarray*} P_2=P_1^2 \end{eqnarray*}$

Daher:

$\begin{eqnarray*} P_1=p+(1-p)P_1^2 \end{eqnarray*}$

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.

$\begin{eqnarray*} P_{1,1}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{1,2}=\frac p {1-p} \end{eqnarray*}$

Welche davon ist die zu dem Problem gehörende Lösung? Bei $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ kommt man nie eine Schritt nach rechts. Da ist $\begin{eqnarray*} P_{1,2} \end{eqnarray*}$ richig. Bei $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$ kommt man sofort einen Schritt nach rechts. Da ist $\begin{eqnarray*} P_{1,1} \end{eqnarray*}$ richtig. Bei $\begin{eqnarray*} p=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ sind die beiden Lösungen gleich: $\begin{eqnarray*} P_{1,1}=P_{1,2}=1 \end{eqnarray*}$ .

Man darf annehmen, dass $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ stetig von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ abhängt. Dafür wäre allerdings noch ein strenger Beweis wünschenswert. Dann steigt $\begin{eqnarray*} P_1(p) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} P_1(0)=0 \end{eqnarray*}$ monoton an auf $\begin{eqnarray*} P_1(\frac 1 2)=1 \end{eqnarray*}$ und bleibt dann konstant bei $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Damit sind wir fertig. Denn

$\begin{eqnarray*} P_8=P_1^8 \end{eqnarray*}$

07.03.2020, 11:41

Ulrich Ruhnau

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RE: Wahrscheinlichkeit, 8 Niederlagen bei unendlicher Zahl von Spielen aufzuholen
Also lautet Huggys geniale Rekursion: Freude

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} P_1=p+(1-p)P_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2=P_1^2 \end{eqnarray*}$

Um einen Schritt nach rechts zu kommen hat man mit der folgenden Wahrscheinlichkeit Glück:

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} P_{1,2}=\frac p {1-p} \end{eqnarray*}$

Mit der folgenden Wahrscheinlichkeit kommt man also 8 Schritte nach rechts:

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} P_8=P_1^8 \end{eqnarray*}$

Setzen wir also $\begin{eqnarray*} p=0{,}4 \end{eqnarray*}$ ein.

$\begin{eqnarray*} P_1=\frac p{1-p}=\frac {0{,}4}{0{,}6}=\frac 23 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_8=P_1^8=\frac {256}{6561}\approx 0,039018442 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1=\begin{cases}1 & \text{für }p \ge \frac 12 \\ \frac p{1-p} & \text{für } p < \frac 12\end{cases}\qquad P_8=\begin{cases}1 & \text{für }p \ge \frac 12 \\ \left(\frac p{1-p}\right)^8 & \text{für } p < \frac 12\end{cases} \end{eqnarray*}$

Fazit: In einer unendlichen Folge von Spielen muss, falls $\begin{eqnarray*} p \in \left[\tfrac 12,1\right] \end{eqnarray*}$ ist, irgendwann der Moment eintreten, in dem der Fragesteller 8 Spiele mehr gewonnen als verloren hat. Anderenfalls ist es von p abhängig, mit welcher Wahrscheinlichkeit das eintritt (siehe grüne Kurve). D.h. nur wer langfristig besser spielt, kann auch Spiele aufholen. Alles andere wäre Glück.

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