Konvergenz von Folgen zeigen

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Konvergenz von Folgen zeigen
Meine Frage:
Hallo, leider zerbreche ich mir jetzt schon seit Stunden den Kopf wegen dieser Aufgabe. Es soll die Konvergenz folgender Folgen untersucht werden:
a) an=1+n^2/1+n!
b) bn=3^n/n^2
(ich kann die Gleichungen leider nicht besser schreiben, sorry)

Meine Ideen:
zu a) ich habe zunächst mal den Grenzwert abgeschätzt, der ist ja offensichtlich null. Um das zu beweisen habe ich die Gleichung durch mehrfaches ausklammern zu 1/(n-2)! vereinfacht, ich weiß aber nicht, ob das weiterhilft. Mit dem Epsilon Kriterium müsste ja gelten: 1/(n-2)! - 0 < Epsilon. Wie kann ich das weiter beweisen?

zu b) Ich habe schon erkannt, dass die Folge divergent ist, allerdings weiß ich nicht, wie man das beweisen soll. Vielleicht durch Unbeschränktheit? Aber wie würde man das zeigen? Dann müsste für die Unbeschränktheit nach oben ja für ein beliebiges M die Gleichung 3^n/n^2 <(gleich) M für alle n unwahr sein. Ist das ein Ansatz und wie forme ich das nach n um?

Vielen Dank für alle Tipps!
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Benutz doch einfach den Satz von Bernoulli:

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_...2%80%99Hospital
tr Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt den Satz von L´Hospital verlinkt, meinst du den? Der würde mir dann ja bei der b) helfen, oder? Und ich dachte, den darf man nur bei Funktionen benutzen, geht das bei Folgen also auch?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich war mal so frei und hab den Satz nach dessen Urheber benannt und nicht nach dem Herausgeber des Buches, in dem der Satz erschienen ist.

Der Satz hilft bei Teil a und Teil b und ist auch bei Folgen anwendbar.

Viele Grüße,
Nils
tr Auf diesen Beitrag antworten »

Ah das ist ja interessant, wusste tatsächlich noch nicht, dass Bernoulli der eigentliche Urheber war! Vielen Dank schonmal für den Tipp. Leider ist mir noch nicht ganz klar, wie mir das bei der a) weiterhilft, wie kann ich denn Fakultäten ableiten?
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Ah sorry, hab mich verlesen. Ja, bei Teil a) hilft der Satz natürlich nicht sonderlich weiter.

Ich nehme an, die Aufgabe lautet

an=(1+n^2)/(1+n!)

dann würde ich einfach durch n^2 kürzen.

Nils
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nils Hoppenstedt
Der Satz hilft bei Teil a und Teil b und ist auch bei Folgen anwendbar.


Wobei ich hier anmerken will, dass das abhängig von der Veranstaltung eher ungern gesehen wird. Zumindest ich hätte da gern ein paar formale Anmerkungen, wenn mir das jemand in einer (einführenden) Veranstaltung einfach so hinknallt, und dann ist die Verwendung von Bernoulli-L'Hospital nicht mehr einfach so gemacht.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Wobei ich hier anmerken will, dass das abhängig von der Veranstaltung eher ungern gesehen wird. Zumindest ich hätte da gern ein paar formale Anmerkungen, wenn mir das jemand in einer (einführenden) Veranstaltung einfach so hinknallt, und dann ist die Verwendung von Bernoulli-L'Hospital nicht mehr einfach so gemacht.


Das ist natürlich richtig. Als Physiker ist allerdings schon geneigt, in diesem Fall n! einfach durch e^(n*ln(n)) zu ersetzen (n geht ja eh gegen unendlich). Aber wenn man sowas macht, dann sollte man ich vorher besser vorher vergewissern, dass gerade kein Mathematiker zuguckt.

Nils
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