Monotonie von ganzrationalen Funktionen 3. Grades

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funnyguy Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie von ganzrationalen Funktionen 3. Grades
Meine Frage:
Aufgabe:

Bestimmen SIe die Intervalle, in denen die ganzrationale Funktion
y=x^3+px
streng monoton wachsend ist (ohne Ableitung).

Streng monoton wachsend bedeutet, dass aus
x_1<x_2 dann f(x_1)<f(x_2) folgt.


Ansatz:

Man müsste also aus
x_1<x_2
folgen, dass
x_1^3+px_1<x_2^3+px_2
ist.

Ich habe schon verschiedene Ansätze probiert, aber kein Ansatz führte zum Erfolg.

Das Ergebnis müsste
abs(x)>sqrt(-p/3),p<0
sein.


Ich bitte um Hilfe!

Meine Ideen:
x_2^3+px_2=(x_1+h)^3+p(x_1+h)
oder
x_1^3-x_2^3+p(x_1-x_2)<0
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie von ganzrationalen Funktionen 3. Grades
Vielleicht hilft es, das Polynom in eine bessere Form zu bringen.



für

Für die blaue Kurve mit lassen sich drei Intervalle angeben, in denen sie streng monoton ist. Insgesamt sind nur drei Fälle zu unterscheiden:

p > 0 ein Intervall
p = 0 zwei Intervalle
p < 0 drei Intervalle
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Anmerkungen zum Ansatz von Ulrich Ruhnau:

1) Für p=0 iliegt auch nur ein Intervall mit strenger Monotonie vor, da die Funktion weder konstante Abschnitte, noch fallende Abschnitte hat.

2) Da nach streng Monoton wachsend gefragt ist, reduzieren sich die Intervalle auf zwei Fälle: Ein zusammenhängendes und zwei disjunkte.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie von ganzrationalen Funktionen 3. Grades
Eine andere Herangehensweise, bei der man sich die graphische Anschauung aus der Schulmathematik zunutzemachen kann:

Die Funktion ist punktsymmetrisch und hat eine Nullstelle bei .
Die weitere Nullstellenuntersuchung von ergibt:
- Für hat f(x) nur die einfache Nullstelle .
- Für hat f(x) die dreifache Nullstelle .
- Für hat f(x) zwei weitere einfache Nullstellen bei .
Interessant ist der letztgenannte Fall.
Über den Globalverlauf wissen wir:
Da der Leitkoeffizient , ist und .
Dazwischen liegen 3 einfache Nullstellen sowie zwischen der negativen Nullstelle und x=0 ein lokales Maximum und zwischen x=0 und der positiven Nullstelle ein lokales Minimum.
muß von bis zur lokalen Maximalstelle streng monoton steigend sein und ebenso von der lokalen Minimalstelle bis .

Nun die Idee:
Sei eine der beiden lokalen Extremstellen mit dem Funktionswert , dann können wir um in y-Richtung verschieben, so dass der lokale Extrempunkt auf der x-Achse liegt. Die Monotonieintervalle bleiben dadurch unberührt.
Dann hat an der Stelle eine doppelte Nullstelle, weshalb von der Linearfaktor abgespalten werden kann.
Führt man unter dieser Voraussetzung entweder die Polynomdivision

oder - deutlich bequemer - zweimal das Hornerschema durch, folgt für den verbleibenden Rest die Bedingung
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