Anzahl der Polstellen

08.03.2020, 20:08	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Polstellen Meine Frage: $\begin{eqnarray} f_{t}=\frac{4}{x^{2}-4x+t} \end{eqnarray}$ mit t aus R gegeben. a) Ermitteln Sie die Anzahl der Polstellen in Abhängigkeit von t! b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen! c) Für welches t existiert kein lokales Extremum für diese Funktion ft(x)? Meine Ideen: Leider komme ich nicht weiter, kann mir jemand helfen? Dankeee!!!
09.03.2020, 00:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Was sind denn Polstellen? Das habt ihr doch sicher im Unterricht besprochen. Mittels pq-Formel sind sie hier recht schnell berechnet. b) Was passiert mit den Funktiionswerten, wenn x immer größer wird? Notfalls setzt Du ein paar Werte ein (x=10; 100; 1000) und berechnest den zugehörigen Funktionswert, dann siehst Du wohin die Funktion läuft. c) Wie berechnet man Extremstellen? Auch das sollte im Unterricht dran gewesen sein: Ableitung bestimmen und Null setzen, dann hinreichendes Kriterium prüfen.
09.03.2020, 16:24	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a): Mit pq- Formel kriege ich $\begin{eqnarray} x_{1,2}= 2 \pm \sqrt{4-t} \end{eqnarray}$ Diskriminante ist 4-t. Also für t =4 eine Lösung, für t<4 zwei Lösungen, für t>4 keine (reelle) Lösung. Aber was ist die Anzahl der Polstellen ?
09.03.2020, 16:31	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Funktionswert ist immer kleiner und kleiner, als x größer ist? Kann ich schreiben, lim f(x) = 0 als x geht gegen unendlich
09.03.2020, 17:43	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von Dir genannten Lösungen betreffen ja die Nullstellen des Nenners, was eben genau die Polstellen der Funktion sind. Für t=4 gibt es also genau eine Polstelle. Beim Limes nehme ich an, dass Du das Richtige meinst. In jedem Fall solltest Du aber auch das Verhalten gegen $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ untersuchen. Viele Grüße Steffen
09.03.2020, 18:09	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu c) : Ich habe die Ableitung gefunden : $\begin{eqnarray} \frac{-8(x-2)}{(x^{2}-4x+t)^{2}} \end{eqnarray}$ Aber wenn ich das auf 0 setze, kriege ich keine Lösung... Ich weiß wie das Kriterium für die Extremstellen funktioniert, aber ich kann nicht x finden...
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09.03.2020, 18:34	pufkica	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es so probiert : -8(x-2) = 0 und Nenner soll ungleich 0 sein. Dann ist x=2. Die Funktion können wir ohne Quadrat schreiben, weil 0^2=0. Von b) wissen wir, dass für t ungleich Null, unsere Funtkion ist auch ungleich 0. Stimmt das?
09.03.2020, 20:54	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Nenner soll ungleich Null sein, damit ein Extremum existiert. Du sollst aber das t herausfinden, für das keines existiert.

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