Fähre soll Kutter erreichen

09.03.2020, 18:00

Michael_77!

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Fähre soll Kutter erreichen

Hallo miteinander,

bin mir bei folgender Aufgabe unsicher, obwohl ich denke, dass ich sie korrekt gelöst habe (die in der Literatur angegebene Lsg. sieht etwas anders aus).

Also:
Eine Fähre mit der Position $\begin{eqnarray*} \phi = \end{eqnarray*}$ 55°20´Nord und $\begin{eqnarray*} \lambda= \end{eqnarray*}$ 16°17´Ost will einen Kutter, Position 56°10´Nord und 17°2´Ost, erreichen. Welchen Kurs muss die Fähre halten und wie lange dauer es, bis sie bei einer Maximalgeschwindigkeit von 28km/h den Kutter erreicht?

Mein Ansatz:

Kugelkoordinaten mit $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ : Azimutalwinkel (Position Ost) und Polarwinkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ : mit $\begin{eqnarray*} \theta=90^\circ-\lambda \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist der Elevationswinkel = Position Nord).

Ortsvektor in Kugelkoordinaten, sowohl für die Fähre als auch den Kutter formulieren mit: $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\left ( \begin{array}{c} r_Esin(\theta)cos(\phi) \\ r_Esin(\theta)sin(\phi) \\ r_Ecos(\theta) \end{array}\right ) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} r_E=6370km \end{eqnarray*}$ . (hier mit $\begin{eqnarray*} r_E=1 \end{eqnarray*}$ , zum leichterten rechnen.)

Ausgerechnet ergibt das zwei kartesische Vektoren.
Jetzt habe ich die Differenz gebildet: $\begin{eqnarray*} \Delta\vec{r}=\vec{r}_K-\vec{r}_F \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{r}_K: \end{eqnarray*}$ Ortsvektor Kutter und $\begin{eqnarray*} \vec{r}_F: \end{eqnarray*}$ Ortsvektor Fähre ist.

Ausgehend von diesem Differenzvektor, mit $\begin{eqnarray*} \Delta\vec{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , kann ich jetzt die Rücktransformation berechnen um wieder mein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ zu erhalten.
$\begin{eqnarray*} \phi=\pi+arctan(\frac{y}{x}) \end{eqnarray*}$ (mein errechnetes x<0) und
$\begin{eqnarray*} \theta=arctan(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}) \end{eqnarray*}$ (mein errechnetes z >0)

Nun, zum Kurs der Fähre: Position Ost ist also dann, so denke ich mal, mein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und Position Nord wäre dann $\begin{eqnarray*} 90^\circ-\theta \end{eqnarray*}$ .

Zur benötigten Fahrzeit einfach: $\begin{eqnarray*} t=\frac{|\Delta\vec{r}|}{v} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\Delta\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ .

So also sieht meine Lösung aus. Was sagt ihr? Kann man das so machen?

Da ich hier neu bin und mir der relativen Größe der Ausformulierungen bewusst bin, doch bitte eine Rückmeldung ob so eine ausführliche Darstellung meiner Vorgehensweise hier erwünscht ist oder eher weniger.

09.03.2020, 22:25

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Der kürzeste Weg zwischen beiden Punkten führt durch die Erdkugel hindurch. Du redest doch von einer Fähre und nicht von einem U-Boot. Eigentlich ist hier die Länge eines Kreisbogens zu bestimmen und den Kurs natürlich. Man könnte näherungsweise ansetzen $\begin{eqnarray*} \phi=\phi_0+ct \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = \lambda_0 + bt \end{eqnarray*}$ . Aber ich schätze, daß es da sehr fortgeschrittene Methoden aus der Funktionentheorie gibt. Aber damit kenne ich mich nicht aus.

10.03.2020, 13:02

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Danke Ulrich für den Hinweis.

Der (angenäherte) Ansatz $\begin{eqnarray*} \phi=\phi_0+ct \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda=\lambda_0+ct \end{eqnarray*}$ ist gut, denn die Fähre muss ja in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Differenzwinkel $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ überfahren. Das würde bedeuten, dass die Fähre den Azimutalwinkel $\begin{eqnarray*} \phi_{0,K}-\phi_{0,F}= \end{eqnarray*}$ 45´und den Elevationswinkel $\begin{eqnarray*} c_{\lambda}=\lambda_{0,K}-\lambda_{0,F}= \end{eqnarray*}$ 50´ überstreicht.

Mit dem angenäherten Umfang der Erde von $\begin{eqnarray*} U_E\approx 40000~km \end{eqnarray*}$ hätte ich dann entsprechend: $\begin{eqnarray*} 1^\circ \cong 111~km \end{eqnarray*}$

Das wiederum würde bedeuten, das die Fähre dementsprechend für $\begin{eqnarray*} \phi_{0,K}= \end{eqnarray*}$ 45´ eine Entfernung von 83,25 km und für $\begin{eqnarray*} \lambda_{0,K} \end{eqnarray*}$ = 50´ eine Entfernung von 92,5 km zurücklegen müsste.

Die hieraus resultierende Gesamtstrecke wäre dann: $\begin{eqnarray*} |\Delta\vec{r}|=\sqrt{92,5^2+83,25^2}=124,446~km \end{eqnarray*}$ .

Das wäre dann die direkte Verbindung mit einem U-Boot (Kreissehne). Aber richtig ist der Kreisbogen. Auch hier kann ich (in Annäherung, dass die Erde eine Kugel ist) den Kreisbogen berechnen mit $\begin{eqnarray*} l=2r_Esin(\frac{|\Delta\vec{r}|}{2r_E})=124,444~km \end{eqnarray*}$ - ich sehe gerade, dass gibt sich nicht viel.

Mit dem gegebenen $\begin{eqnarray*} v=28~km/h \end{eqnarray*}$ kann ich jetzt die Fahrzeit der Fähre berechnen. Gut.

Aber was ist mit dem Kurs den die Fähre nehmen muss? Vieleicht ist meine Angabe für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ aus meinem ersten Post falsch. ?

10.03.2020, 13:24

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Aber richtig ist der Kreisbogen. Auch hier kann ich (in Annäherung, dass die Erde eine Kugel ist) den Kreisbogen berechnen mit $\begin{eqnarray*} l=2r_Esin(\frac{|\Delta\vec{r}|}{2r_E})=124,444~km \end{eqnarray*}$ - ich sehe gerade, dass gibt sich nicht viel.

Für die Länge eines Kreisbogens braucht man neben dem Radius auch den Winkel. Diesen bekommst Du aber nur über einen $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ . An den gelangst Du am besten über das Kreuzprodukt der beinen Vektoren (Startvektor x Endvektor) in kartesischen Koordinaten.

$\begin{eqnarray*} |\vec a \times \vec b|=|\vec a|\cdot |\vec b| \sin \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l = \alpha\cdot r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r =|\vec a|=|\vec b| \end{eqnarray*}$

Im Übrigen ist $\begin{eqnarray*} \alpha \approx \frac{|\vec a - \vec b|}{r} \end{eqnarray*}$ eine Näherung.

10.03.2020, 14:32

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Ah ja, stimmt.
Also über das Kreuzrodukt komm ich auf einen Winkel von: $\begin{eqnarray*} \alpha = 0,96^\circ \end{eqnarray*}$ . Und mit $\begin{eqnarray*} l=\alpha\cdot r_E \end{eqnarray*}$ komm ich auf 106,8 km. Ok, das scheint zu stimmen, weil sich die Vektoren aus dem Kreuzprodukt direkt aus den geographischen Positionen ergeben (Kugelkoordinaten $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ kartesische Koord.)

Aber was ist an der Überlegung aus meinem letzten Post, die zum Ergebnis $\begin{eqnarray*} |\Delta\vec{r}|=124,446~km \end{eqnarray*}$ geführt hat falsch?

10.03.2020, 14:50

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
$\begin{eqnarray*} l=2r_Esin(\frac{|\Delta\vec{r}|}{2r_E})=124,444~km \end{eqnarray*}$ - ich sehe gerade, dass Vieleicht ist meine Angabe für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ aus meinem ersten Post falsch. ?

$\begin{eqnarray*} l=2r_E \,\text{arcsin}\left(\frac{|\Delta\vec{r}|}{2r_E}\right) \end{eqnarray*}$ ist möglicherweise nicht verkehrt. Probiere das doch auch noch mal! Und bitte in Radiant rechnen! Und bitte gehe vom Zentrum der Erde aus! Alles andere ist ungenau.

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10.03.2020, 15:17

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Also, habs nachgerechnet, und komme mit $\begin{eqnarray*} r_E=6371~km \end{eqnarray*}$ auf 124,448 km.
Ok, $\begin{eqnarray*} r_E \end{eqnarray*}$ ist eben nur der mittlere Erddurchmesser. Meinst du mit Zentrum der Erde die Radien genau an den geographischen Positionen?
Und dann bleibt immer noch die Diskrepanz zwischen $\begin{eqnarray*} |\Delta\vec{r}|=124,448~km \end{eqnarray*}$ und der Kreisbogenlänge von l=106,8 km - errechnet aus eben dem Winkel aus dem Kreuzrodukt. ?
Beides kann ja nicht zugleich richtig sein. Wo ist mein Denkfehler?

10.03.2020, 16:45

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Zunächst geht man von Kugelkoordinaten aus.

$\begin{eqnarray*} \vec r=\begin{pmatrix} r\cos(\vartheta)\cos(\varphi) \\ r\cos(\vartheta)\sin(\varphi) \\ r \sin(\vartheta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So erhalte ich mit Deinen Angaben:

für die Fähre: $\begin{eqnarray*} \vec r_F=\begin{pmatrix} 3478.5 \\1016.1 \\5240.0 \end{pmatrix}\quad \end{eqnarray*}$ und für den Kutter: $\begin{eqnarray*} \vec r_K=\begin{pmatrix} 3391.6 \\1039.1\\5292.1 \end{pmatrix}\quad \end{eqnarray*}$ und für das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \frac{\vec r_F \times \vec r_K}{r^2}=\begin{pmatrix} -0.0017\\-0.0157\\0.0041\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} |\vec r_F \times \vec r_K|=|\vec r_F|\cdot |\vec r_K| \sin \alpha\quad \end{eqnarray*}$ ergibt das ein $\begin{eqnarray*} \alpha=0.0163=0.9341° \end{eqnarray*}$ sowie eine Bogenlänge (Fahrweg) von $\begin{eqnarray*} l=\alpha\cdot r=103.8700\, \text{km} \end{eqnarray*}$ .

Was den genauen Kurs betrifft, wäre hier eine Extrarechnung von Nöten. Das ist aber etwas schwieriger, weil da meiner Meinung nach das Koordinatensystem zu drehen ist.

10.03.2020, 17:18

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Der direkte Weg unter Wasser wäre mit $\begin{eqnarray*} |\vec r_F-\vec r_K|=103.8689 \,\text{km} \end{eqnarray*}$ nur geringfügig kürzer gewesen. Er hätte $\begin{eqnarray*} r-\tfrac 12|\vec r_K+\vec r_F|=0.2117 \,\text{km} \end{eqnarray*}$ unter die Wasseroberfläche geführt.

10.03.2020, 19:10

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Du hast hier eine andere Konvention für Kugelkorrdinaten verwendet, die mir bisher unbekannt war. Habe herausgefunden, das diese direkt mit den geographischen Winkeln benutzt werden kann. Prima, alleine dafür danke!!

Habe jetzt mit den von dir angegebenen Kugelkoordinaten mehrmals nachgerechnet und komme allerdings auf andere Werte, was im Endeffekt eine Bogenlänge von 103,8 km ergibt bei einem Winkel von 0,93°.

Ich hab folgende Werte:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}_F=\left(\begin{array}{c}3478,5\\ 1016,1\\ 5240,0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{r}_K=\left(\begin{array}{c}3391,6\\ 1039,1\\ 529,1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r}_F \times\vec{r}_K =\left(\begin{array}{c}-67581,2\\ -636586,0\\ 168305,0\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ .

Für die Beträge habe ich:

$\begin{eqnarray*} |\vec{r}_F|=6371,03 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} |\vec{r}_K|=6370,95 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\vec{r}_K\times\vec{r}_K|=661918 \end{eqnarray*}$

Für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ergibt sich nun:

$\begin{eqnarray*} \alpha=\arcsin(\frac{661918}{6371,03\cdot6370,95})=0,93^\circ~\hat=~0,0163~rad \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich eine Bogenlänge: $\begin{eqnarray*} l=\alpha\cdot\vec{r}_{m}=\alpha\cdot\frac{1}{2}(|\vec{r}_F|+|\vec{r}_K|)=0,0163~rad\cdot6371~km=103,8~km \end{eqnarray*}$

Das müsste doch stimmen, oder?

Bleibt dann noch der von der Fähre einzuschlagende Kurs.

10.03.2020, 20:30

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Für die Beträge habe ich:

$\begin{eqnarray*} |\vec{r}_F|=6371,03 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} |\vec{r}_K|=6370,95 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\vec{r}_K\times\vec{r}_K|=661918 \end{eqnarray*}$

Diese Vektoren zeigen doch vom Erdmittelpunkt zur Wasseroberfläche. Wenn wir die Erde als Kugel annehmen, dann sind die Vektoren gleich lang und sollten Deinem Erdradius entsprechen. Des Weiteren habe ich meine Rechnung überprüft und meine Fehler berichtigt, sodaß unsere Ergebnisse übereinstimmen.

11.03.2020, 10:24

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Ok. Danke für deine Überprüfung.

Mit den Unterschiedlichen Radien, ist mir aufgefallen. Ganz klar, dass bei der idealisierten Erde - als Kugel -, beide Vektoren gleich sind. Aber kann es nicht sein, das meine geographischen Positionen es mir erlauben, die "wahren" Erdradien an eben diesen Punkten ermitteln zu können? Ich meine $\begin{eqnarray*} \vec{r}=6371~km \end{eqnarray*}$ ist ja auch nur ein gemittelter Erdradius. ?

11.03.2020, 13:30

URL

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Eine Anmerkung: Ich würde statt des Vektorproduktes eher das einfachere Skalarprodukt von r_F und r_K verwenden und dann den Cosinus des Winkels bekommen.

In beiden Fällen kann man die exakten Radien einsetzen, wenn man sie denn kennt

11.03.2020, 14:53

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Danke URL für deine Hilfe.

Habe es nachgerechnet und da kommt der selbe Winkel raus. Gut.

Bezgl. der exakten Radien: $\begin{eqnarray*} \vec{r}_F \end{eqnarray*}$ z.B., ergibt sich aus den Kugelkoordinaten wie bereits angegeben. Daraus kann ich den Betrag ermitteln, also $\begin{eqnarray*} |\vec{r}_F| \end{eqnarray*}$ und damit habe ich doch den exakten Radius an dieser geograhischen Position. Oder ist das nicht korrekt?

Zum Kurs der Fähre: müsste das nicht der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \Delta\vec{r}=\vec{r}_K - \vec{r}_F \end{eqnarray*}$ sein? Ich meine, die Fähre muss doch, nach dem doch nun ermittelten $\begin{eqnarray*} t=\frac{l}{v} \end{eqnarray*}$ , den Kutter erreichen können, eben entlang der Richtung $\begin{eqnarray*} \Delta\vec{r}=\vec{r}_K - \vec{r}_F \end{eqnarray*}$ . Natürlich müsste ich aus $\begin{eqnarray*} \Delta\vec{r} \end{eqnarray*}$ die Rücktransformation errechnen bezgl. der geographischen Länge $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ und Breite $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Was meint ihr?

11.03.2020, 17:59

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Wir haben doch inzwischen festgestellt, daß die Entfernung zwischen Fähre und Kutter nicht so wahnsinnig groß ist, daß man nicht mit Näherungen arbeiten könnte. Wären Fähre und Kutter an völlig verschiedenen Orten auf der Erde und dazwischen nur Ozean, dann hätten wir das Problem, daß wenn wir einen Kurs von z.B. 50° setzen (von der Nordrichtung gemessen im Uhrzeigersinn) und beibehalten, wir uns auf einer Spiralbahn zum Nordpol befinden würden. Die kürzeste Weg, wie die Fähre auf der Wasseroberfläche zum Kutter kommt, wäre jedoch ein Kreisbogen, der nicht zum Nordpol führt. Um diesen Kurs zu halten, müßte sich der Kurs gemessen in Grad zur Nordrichtung andauern ändern. Weil ich keine Kapitänsausbildung habe, weiß ich nicht, wie auf See bei großer Fahrt navigiert wird. Aber rein theoretisch müßte der Kurs andauern angepaßt werden, wenn man die kürzeste Strecke fahren möchte.

Am liebsten hätte ich das Koordinatensystem so gedreht, daß man nur den Parameter $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ändert, um mit der Fähre zum Kutter zu fahren. Zusätzlich besteht noch das Problem, daß man den Kurs der Fähre in das Ortssystem der Fähre umrechnen muß. Ich habe schon mal geschaut. Astronomen haben ein ähnliches Problem, wenn sie Ihre Fernrohre ausrichten wollen. Dann muß von einem erdzentrierten System in das Ortssystem umgerechnet werden. Für mich wäre alles machbar, es kostet nur seine Zeit. Einfacher wäre es, wenn hier ein Experte helfen würde. Wo ist HAL wenn man ihr braucht?

11.03.2020, 19:16

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Dann muß von einem erdzentrierten System in das Ortssystem umgerechnet werden. Für mich wäre alles machbar, es kostet nur seine Zeit. Einfacher wäre es, wenn hier ein Experte helfen würde.

Von Nautik habe ich keine Ahnung. Aber meines Wissens bezeichnet man als Kurs eines Schiffes den Winkel zwischen der aktuellen Fahrtrichtung und der Nordrichtung. Das wurde auch von dir angemerkt. Wenn das Schiff sich auf einem Großkreis bewegt, ist dieser Winkel leicht zu bestimmen. Es ist der Schnittwinkel zwischen der Ebene des Großkreises, auf dem man sich bewegt, und der Ebene des Meridians, auf dem man sich gerade befindet. Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist bekanntlich Winkel zwischen ihren Normalenvektoren.

Der so definierte Kurs ändert sich, von Ausnahmen abgesehen, ständig, wenn man sich auf einem Großkreis bewegt, wie du ja auch schon angemerkt hast. Bei dem kleinen Abstand zwischen Start- und Zielpunkt in der Aufgabe, ist die Änderung aber klein. Es dürfte also genügen, z. B. den anfänglichen Kurs zu bestimmen. Falls die Aufgabe mehr verlangt, muss der Fragesteller das mitteilen.

11.03.2020, 19:37

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Puhh..., interessante Analyse.

Übrigens, ich bin begeistert von der Hilfe die hier angeboten wird. Klasse Forum, Danke.

Also, da unsere Fähre ja nicht allzu weit vom Kutter entfernt ist, glaub ich nicht, das hier eine ständige Kurskorrektur getätigt werden muss. Wenn die Fähre auf der anderen Erdhalbkugel wäre, würde die Fähre, so denke ich mir das auch, bei gehaltenem Kurs, auf einer Spirale fahren. Aber wir sprechen hier von einer Differenz von $\begin{eqnarray*} \Delta \phi ={50}{}' \end{eqnarray*}$ nach Norden und $\begin{eqnarray*} \Delta \varphi ={45}{}' \end{eqnarray*}$ nach Osten.

Habe auch mal nach nautischer-Navigation geschaut, und die sprechen von einer Seekarte, in die von einem geograhisch bekannten Punkt (unsere Fähre) zu einem Zielpunkt (muss ebenfalls bekannt sein - unser Kutter - ) mittel Linealen eine Strecke zwischen beiden Punkten gezogen wird, und dann irgendwie dieser Kurs auf der Karte abgelesen wird - oder so. Dann wird aber, so sagen die, nach diesem Kurs gefahren.

Also, was für einen Kurs muss ich steuern, um von der Position der Fähre $\begin{eqnarray*} 55^{\circ} ~{20}'N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 16^{\circ} ~{17}'O \end{eqnarray*}$ eine Distanz von $\begin{eqnarray*} \Delta \phi ={50}{}' \end{eqnarray*}$ nach Norden und $\begin{eqnarray*} \Delta \varphi ={45}{}' \end{eqnarray*}$ nach Osten zu überfahren, um die Position $\begin{eqnarray*} 56^{\circ} ~{10}'N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 17^{\circ} ~{02}'O \end{eqnarray*}$ zu erreichen?!

Interessante Aufgabe.
Ich bin mir sicher das finden wir raus smile

smile

Wenn mir etwas einfällt, gebe ich dies durch.

11.03.2020, 19:49

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Um den Seekartenkurs zu bestimmen, müsste man eine Seekarte des Gebiets haben oder zumindest exakt wissen, welche Art der Projektion Seekarten dort verwenden, falls das überhaupt einheitlich ist.

Was spricht denn dagegen, den Winkel zwischen den beiden Großkreisebenen zu bestimmen, wie von mir vorgeschlagen, wenn der Unterschied zu einem Seekartenkurs eh gering ist.

12.03.2020, 13:26

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Der Gedanke mit den Großkreisen von Huggy ist sehr interessant und gab mir den Impuls, mal in die sphärische Geometrie hineinzuschauen. Freude

Freude

Die Winkelbestimmung zwsichen den beiden Großkreisen behalte ich im Hinterkopf und würde ich gerne als Referenzrechnung heranziehen, wobei ich mir noch überlegen muss, wie ich die Großkreisebenen mathematisch beschreiben soll.

Habe folgendes herausgefunden:
Die kürzeste Entfernung zwsichen zwei Punkten auf einer Kugel ist die Orthodrome, die immer Teil eines Großkreises ist. Mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie kann direkt aus den Längen und Breitengraden der Zetriewinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ errechnet werden, welche dann zur Bestimmung der Länge $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ dient.

Mit $\begin{eqnarray*} \alpha=arccos(sin\Phi_Fsin\Phi_K+cos\Phi_Fcos\Phi_Kcos(\phi_K-\phi_F)) \end{eqnarray*}$

wobei: $\begin{eqnarray*} \Phi_F=55,33° \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \Phi_K=56,17° \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \phi_K=17,03° \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \phi_F=16,28° \end{eqnarray*}$ die Längen- und Breitengrade von Fähre und Kutter sind.

Ich habs ausgerechnent und komme aufs exakt gleiche Ergebnis, dass wir bereits berechnet haben: $\begin{eqnarray*} \alpha=0,93° \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \alpha=0,016~rad \end{eqnarray*}$ . Sehr gut.

Weiterhin kann man den Kurswinkel - den Winkel zwischen der Nord- und Zielrichtung - , wie von Huggy angemerkt, berechnen, durch:

$\begin{eqnarray*} \alpha=arccos\left(\frac{sin\Phi_K-sin\Phi_Fcos\alpha}{cos\Phi_Fsin\alpha}\right) \end{eqnarray*}$

Ich komme hier auf: $\begin{eqnarray*} \alpha=26^\circ~Nord \end{eqnarray*}$ .

Wie schon erwähnt, wäre das der Winkel zwischen der Nordrichtung und der Richtung zum Kutter. Das wäre doch dann der Polarwinkel und nicht mein Elevationswinkel, also die geographische Breite, die ich aus Sicht der Fähre einschlagen müsste. Oder?
Der wäre doch dann $\begin{eqnarray*} \tilde{\alpha}=90^\circ - \alpha =64^\circ~Nord \end{eqnarray*}$ !?

Also, wenn dass alles hier so stimmt, können wir uns wohl alle ohne Sorge zur Kapitänsausbildung anmelden smile

smile

smile

smile

13.03.2020, 12:50

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Die Winkelbestimmung zwsichen den beiden Großkreisen behalte ich im Hinterkopf und würde ich gerne als Referenzrechnung heranziehen, wobei ich mir noch überlegen muss, wie ich die Großkreisebenen mathematisch beschreiben soll.

Eine formelmäßige Beschreibung der Großkreisebenen ist gar nicht nötig. Man braucht lediglich zwei die Ebene aufspannende Vektoren. Da der Mittelpunkt der Kugel in der Ebene eines jeden Großkreises liegt, kann man die Vektoren vom Mittelpunkt der Kugel zu zwei Punkten des Großkreises nehmen. Die sind identisch mit den kartesischen Koordinaten der beiden Punkte, wenn der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems im Mittelpunkt der Kugel liegt. Beim dem zu fahrenden Großkreis nimmt man die Anfangskoordinaten der Fähre und die Koordinaten des Kutters. Beim Meridian ist es leicht, zwei Punkte auf ihm zu finden. Hier findet man den Normalenvektor natürlich auch leicht auf anderem Weg.

Ich habe das mal auf diesem Weg gerechnet und betrüblicherweise komme ich auf einen Kurs von $\begin{eqnarray*} 26.5539 ° \end{eqnarray*}$ , was gerundet $\begin{eqnarray*} 27° \end{eqnarray*}$ ergibt, also eine völlig unakzeptable Abweichung zu deinen $\begin{eqnarray*} 26° \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Wie schon erwähnt, wäre das der Winkel zwischen der Nordrichtung und der Richtung zum Kutter. Das wäre doch dann der Polarwinkel und nicht mein Elevationswinkel, also die geographische Breite, die ich aus Sicht der Fähre einschlagen müsste. Oder?

Die Bemerkung verstehe ich nicht. Der Kurs ist definitionsgemäß der Winkel zwischen Fahrtrichtung und Norden. Deine Umrechnung ergibt den Winkel zwischen Fahrtrichtung und Osten. Das wäre eine andere Definition. Auf jeden Fall ist die Richtung, die man einschlägt, weder als geographische Breite, noch als geographische Länge zu interpretieren.

13.03.2020, 13:11

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Also, es geht jetzt um die von Huggy vorgeschlagene Rechnung, den Kurswinkel zwischen Nordrichtung und der für die Fähre aktuellen Fahrtrichtung über den Schnitt der beiden Großkreisebenen ( Ebene des Kurses - kurz: $\begin{eqnarray*} E_{KE} \end{eqnarray*}$ - ) und der Meridianebene ( Ebene des Meridians durch die Position Fähre - kurz: $\begin{eqnarray*} E_{ME} \end{eqnarray*}$ - ).

Als erstes habe ich mir überlegt, wie ich die Ebenen beschreibe. Dazu brauche ich jeweils 3 Punkte die linear unabhängig sind.

für $\begin{eqnarray*} E_{ME} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{r}_F \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{r}_K \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} E_{ME} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec{r}_F \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{N} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$

wobei: $\begin{eqnarray*} \vec{N} \end{eqnarray*}$ der Nordpol ist und $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ der Nullpunkt, der allen Großkreisen gemein ist.

Ebenengleichungen aufstellen:

$\begin{eqnarray*} E_{ME} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\vec{r}_F+\lambda\cdot (\vec{r}_K-\vec{r}_F)+\mu\cdot(\vec{r}_K-\vec{0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ME} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\vec{r}_F+\lambda\cdot (\vec{r}_N-\vec{r}_F)+\mu\cdot(\vec{r}_N-\vec{0}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu=\mathbb{R}\setminus 0 \end{eqnarray*}$

Für den Nordpol beschreibe ich einfach mit $\begin{eqnarray*} \vec{N}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ r_E \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

ausgerechnet ergibt das dann:

$\begin{eqnarray*} E_{ME} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\left(\begin{array}{c}3478,5\\ 1016,1\\ 5240,0 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}-86,9\\ 23\\ 52,1 \end{array}\right)+\mu\cdot\left(\begin{array}{c}3391,6\\ 1039,1\\ 5292,1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{ME} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\left(\begin{array}{c}3478,5\\ 1016,1\\ 5240,0 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}-3478,5\\ -1016,1\\ 1131,0 \end{array}\right)+\mu\cdot\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6371 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu=\mathbb{R}\setminus 0 \end{eqnarray*}$

Normalenvektoren jeder Ebene durch Kreuzrodukt der jeweiligen Richtungsvektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_{KE}=(\vec{r}_K-\vec{r}_F)\times(\vec{r}_K-\vec{0}) \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} \vec{n}_{KE}=(\vec{r}_K-\vec{r}_F)\times(\vec{r}_K-\vec{0}) \end{eqnarray*}$

normieren der Vektoren ergibt die Normeleneinheitsvektoren (sie stehen senkrecht auf den Ebenen, mit Betrag 1) mit folgenden Werten:

$\begin{eqnarray*} \hat{n}_{KE}=\left(\begin{array}{c}0,102\\ 0,962\\ -0,254 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{n}_{KE}=\left(\begin{array}{c}-0,28\\ 0,96\\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Wie Huggy erwähnt hat, ist der Schnittwinkel beider Ebenen, der Winkel zwischen den Normalenvektoren - oder Normaleneinheitsvektoren -.

Über das Skalarprodukt z.B. kann dann der Schnittwinkel berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} \alpha=arccos(\hat{n}_{KE}\cdot\hat{n}_{KE}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} arccos(0,895)\cong27^\circ \end{eqnarray*}$ Wow

13.03.2020, 13:18

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Gratulation! Freude

Freude

Ich finde es immer anerkenneswert, wenn sich jemand so richtig in eine Sache hineinkniet. Viele Fragesteller sind dazu leider nicht bereit.

Meine letzte Antwort hattest du beim Schreiben deiner Antwort offenbar noch nicht gesehen. Aber sie war auch unnötig. Du hast alles selbst gefunden!

13.03.2020, 13:18

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Da haben sich wohl unsere Antworten gerade überschnitten. Hättes es mir also einfacher machen können. Naja, ist jetzt wohl so. Aber das überlege ich mir.

Du meinst also, das dieser errechnete Winkel, nicht als Längengrad/Breitegrad zu interpretieren ist. Aber sagt man nicht z.B. Kurs xy-Nord oder xy-Nord-Nord-West oder sowas?

13.03.2020, 13:29

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Du meinst also, das dieser errechnete Winkel, nicht als Längengrad/Breitegrad zu interpretieren ist. Aber sagt man nicht z.B. Kurs xy-Nord oder xy-Nord-Nord-West oder sowas?

Ja, das sagt man. Aber das ist eine Richtungsangabe oder Kursangabe. Diese Richtung/diesen Kurs kann man jeder beliebigen Position gegeben durch den Breiten- und Längengrad einschlagen. Es ist zu unterscheiden zwischen Richtung und Position.

13.03.2020, 13:41

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Ja, stimmt. Der Richtungswinkel ist gegen die Nordrichtung, und das ist als Angabe ausreichend. Prima smile

smile

Also, die Aufgabe ist gelöst! Ich habe viel gelernt!

Ich bedanke mich bei allen die mich unterstützt haben und mir Imulse und Denkanstöße gegeben haben.

Bei der nächsten Aufgabe, und die wird kommen, steuere ich direkt zum Matheboard - den Kurs kenne ich ja jetzt smile

smile

smile

smile

Michael

13.03.2020, 13:47

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Ich bedanke mich bei allen die mich unterstützt haben und mir Imulse und Denkanstöße gegeben haben.

So ein Lob freut auch die Helfer. Danke auch im Namen von Ulrich!

Eine Frage ist bei mir noch offen. Woher kommt diese Aufgabe? Welchen Hintergrund hat sie? Eine Aufgabe mit einer so konkreten Einkleidung und so konkreten Zahlen fällt ja üblicherweise nicht vom Himmel.

13.03.2020, 14:02

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Also, ich für meinen Teil studiere Physik - jetzt wieder. Hatte mich einige Jahre mit anderem beschäftigt und rehabilitiere mich so zusagen selbst. Heißt Aufgaben rechnen und Zusammenhänge (wieder) verstehen. um wieder anzuknüpfen zu können.

Ich arbeite derzeit parallel mehrere Skripte (Mathematik für Physiker), auch Literatur, duch, wobei einige der Lösungsvorschläge, einfach gesagt, falsch sind. Und das treibt mich dann an, alles nochmal von der Pike auf anzuschauen.

14.03.2020, 00:33

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Wenn man den Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec e_r=\begin{pmatrix} \cos(\vartheta)\cos(\varphi) \\ \cos(\vartheta)\sin(\varphi) \\ \sin(\vartheta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ ableitet, kommt man auch auf den Einheitsvektor der Nordrichtung.

$\begin{eqnarray*} \vec e_{\vartheta}=\frac {\partial \vec e_r}{\partial \vartheta}=\begin{pmatrix} -\sin(\vartheta)\cos(\varphi) \\ -\sin(\vartheta)\sin(\varphi) \\ cos(\vartheta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In ähnlicher Weise liefert die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einen Einheitsvektor Richtung Osten.

$\begin{eqnarray*} \vec e_{\varphi}=\frac1{cos(\vartheta)} \frac {\partial \vec e_r}{\partial \varphi}=\begin{pmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.03.2020, 13:41

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Danke Ulrich für deinen Hinweis.

Habe mir dies mal genauer angeschaut und ja, diese Ableitungen beschreiben die Einheitsvektoren nach Norden bzw. Osten.
Allerdings, so denke ich mal, nur unter einem ganz bestimmten Satz von Winkeln, nämlich bei $\begin{eqnarray*} \theta=0^\circ \end{eqnarray*}$ für den Einheitsvektor nach Norden und $\begin{eqnarray*} \varphi=0^\circ \end{eqnarray*}$ für den Einheitsvektor nach Osten.

Gerne würde ich dies mal erläutern, mit der Bitte um Rückmeldung ob die Zusammenhänge so stimmen.

Also, da wir ja von einer anderen Konvention der Kugelkoordinaten ausgehen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \vec{r}=\left(\begin{array}{c}r\cdot cos\theta\cdot cos\varphi\\ r\cdot cos\theta\cdot sin\varphi\\ r\cdot sin\theta\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

anstatt

$\begin{eqnarray*} \vec{r}=\left(\begin{array}{c}r\cdot sin\theta\cdot cos\varphi\\ r\cdot sin\theta\cdot sin\varphi\\ r\cdot cos\theta\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ ,

ergibt sich also auch für den Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta} \end{eqnarray*}$ was anderes, nämlich er zeigt in die zu $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta} \end{eqnarray*}$ (aus der gebräuchlichen Definition der Kugelkoordinaten) entgegengesetzten Richtung.

Hier mal eine Zeichung, die die Einheitsvektoren des begleitenden-Dreibeins zeigen:

[attach]50780[/attach]

Der in dieser Aufgabe genutzte Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{N} \end{eqnarray*}$ , ist allerdings ein Vektor, der stets nach Norden zeigt und somit, meine ich, nicht mit dem in der Zeichung ersichtlichen Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta} \end{eqnarray*}$ zusammenfällt, ausser eben bei $\begin{eqnarray*} \theta=0^\circ \end{eqnarray*}$ .

Wäre denn, aus dieser Sicht, die Aussage $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \end{eqnarray*}$ ist der Einheitsvektor nach Norden bzw. $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\varphi}=\frac{1}{cos\theta}\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi} \end{eqnarray*}$ ist der Einheitsvektor nach Osten im Allgemeinen korrekt ?

Damit das richtig verstanden wird, es geht mir nicht um Kritik einer Aussage in einem Beitrag; mir geht es nur um die Korrektheit der Zusammenhänge. smile

smile

17.03.2020, 12:50

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Der in dieser Aufgabe genutzte Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{N} \end{eqnarray*}$ , ist allerdings ein Vektor, der stets nach Norden zeigt und somit, meine ich, nicht mit dem in der Zeichung ersichtlichen Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta} \end{eqnarray*}$ zusammenfällt, ausser eben bei $\begin{eqnarray*} \theta=0^\circ \end{eqnarray*}$ .

Wäre denn, aus dieser Sicht, die Aussage $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \end{eqnarray*}$ ist der Einheitsvektor nach Norden bzw. $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\varphi}=\frac{1}{cos\theta}\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi} \end{eqnarray*}$ ist der Einheitsvektor nach Osten im Allgemeinen korrekt ?

Die Frage geht ja an Ulrich. Da er aber, aus welchen Gründen auch immer, nicht antwortet, tue ich das mal.

Für die Aufgabe braucht man, wenn man nicht die fertigen Formeln zur Orthodrome benutzen will, einen Normalenvektors des Meridians, auf dem sich die Fähre befindet. Den bekommt man z. B. aus dem Vektorprodukt zweier in der Meridianebene liegender Vektoren.

Als einen dieser Vektoren kann man den von dir benutzten Vektor $\begin{eqnarray*} \vec N \end{eqnarray*}$ nehmen, der normalisiert $\begin{eqnarray*} (0,0,1) \end{eqnarray*}$ lautet. Den habe ich bei meiner Rechnung auch benutzt. Man kann aber auch den von Ulrich genannten Vektor $\begin{eqnarray*} \vec e_{\vartheta} \end{eqnarray*}$ nehmen. Der liegt auch in der Meridianebene.

Richtig ist, dass diese beiden Vektoren nur für $\begin{eqnarray*} \vartheta =0 \end{eqnarray*}$ übereinstimmen. Welchen der beiden Vektoren man mit der Nordrichtung identifiziert, ist eine Frage der Definition. Üblicherweise identifiziert man $\begin{eqnarray*} \vec e_{\vartheta} \end{eqnarray*}$ mit der Nordrichtung. Das erscheint vernünftig. Ein Schiff kann sich ja nicht in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec N \end{eqnarray*}$ bewegen. Dann würde es ja die Erd- bzw. Meeresoberfläche verlassen.

17.03.2020, 13:38

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Die Frage ist doch, wie konstruiert man sich einen Einheitsvektor, der in der $\begin{eqnarray*} \vec e_{\theta}, \vec e_{\phi} \end{eqnarray*}$ -Ebene liegt und den kürzesten Weg zum Kutter weist?

17.03.2020, 13:48

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Die Frage ist doch, wie konstruiert man sich einen Einheitsvektor, der in der $\begin{eqnarray*} \vec e_{\theta}, \vec e_{\phi} \end{eqnarray*}$ -Ebene liegt und den kürzesten Weg zum Kutter weist?

Die Frage wurde doch beantwortet. Das ist der Kursvektor, der über den Winkel zur Nordrichtung definiert wird. Wenn du das anders siehst, solltest du deine Bedenken präzisieren.

Offen bleibt auch, weshalb du auf die Frage des Fragestellers nicht geantwortet hast.

17.03.2020, 13:52

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Danke Huggy für deine Rückmeldung.

Ja, das leuchtet mir ein. Meine Überlegungen gingen auch in diese Richtung, war mir aber nicht sicher. Hier bezieht sich ja $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta} \end{eqnarray*}$ auf den Einheitsvektor, der im ganz praktischen Sinne - ein Schiff bewegt sich auf einer Kugel -, stets nach Norden zeigt; mir also "sagt", dass wenn ich diesem Vektor mit steigendem $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ folge, ich bei $\begin{eqnarray*} \theta=\pi \end{eqnarray*}$ am Nordpol bin. Wobei mein $\begin{eqnarray*} \vec{N} \end{eqnarray*}$ auch mein Einheitsvektor in Richtung Norden ist, dem ich mit meiner Fähre allerdings, praktisch gesehen, nicht folgen kann. Sehr gut. smile

smile

Ist doch erstaunlich, wie weit das Verständnis mathematischer Zusammenhänge geht, wenn doch so eine (relativ) simple Aufgabe in seiner Tiefe durchschaut wird.

Herzlichen Dank.

17.03.2020, 14:14

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Hier bezieht sich ja $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta} \end{eqnarray*}$ auf den Einheitsvektor, der im ganz praktischen Sinne - ein Schiff bewegt sich auf einer Kugel -, stets nach Norden zeigt; mir also "sagt", dass wenn ich diesem Vektor mit steigendem $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ folge, ich bei $\begin{eqnarray*} \theta=\pi \end{eqnarray*}$ am Nordpol bin. Wobei mein $\begin{eqnarray*} \vec{N} \end{eqnarray*}$ auch mein Einheitsvektor in Richtung Norden ist, dem ich mit meiner Fähre allerdings, praktisch gesehen, nicht folgen kann. Sehr gut. smile

smile

In den Kugelkoordinaten, so wie ich sie vorgegeben habe sind wir mit $\begin{eqnarray*} \theta = 0 \end{eqnarray*}$ am Äquartor, mit $\begin{eqnarray*} \theta = \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ am Nordpol sowie mit $\begin{eqnarray*} \theta = -\frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ am Südpol.

17.03.2020, 14:43

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Ja natürlich, stimmt! Hatte mich vertan; natürich bei $\begin{eqnarray*} \theta=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Klar.

Danke für die Rückmeldung Ulrich smile

smile

17.03.2020, 22:32

Ulrich Ruhnau

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Der Kurs der Fähre, um zum Kutter zu kommen, beträgt am Anfang der Fahrt

$\begin{eqnarray*} \alpha =\arctan \frac{\vec e_{\phi,F} \cdot (\vec r_K-\vec r_F)}{\vec e_{\theta,F} \cdot (\vec r_K-\vec r_F)} =26.55388° \end{eqnarray*}$

sowie am Ende der Fahrt

$\begin{eqnarray*} \alpha =\arctan \frac{\vec e_{\phi,K} \cdot (\vec r_K-\vec r_F)}{\vec e_{\theta,K} \cdot (\vec r_K-\vec r_F)} =27.17384° \end{eqnarray*}$

falls die Fähre auf dem kürzesten Weg um die Erdkugel fährt.

18.03.2020, 12:11

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Also, wie du hier zeigst - indem du den Winkel zwischen den Projektionen des Richtungsvektors $\begin{eqnarray*} (\vec{r}_K - \vec{r}_F) \end{eqnarray*}$ auf die Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\theta} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \hat{e}_{\Phi} \end{eqnarray*}$ bildest - ändert sich also mein Kurswinkel stets, was wir so ziemlich am Anfang der Erörterungen schon erwähnt hatten. In der praktischen Navigation, würde das bedeuten, dass ich nach gewissen Zeiten meine Position ermitteln und, ausgehend von einer Neuberechnung des Kurswinkels, meinen Kurs korrigieren muss.

Jetzt habe ich nochmals unter Navigation nachgeschaut. Folgendes habe ich herausgefunden.

In der Praktischen Navigation, folgt man eher der Loxodrome, als der Orthodrome, weil man dann den Kurswinkel nicht mehr korrigieren muss. Doch auf relativ kurze Distanzen, so wie hier, fallen wohl Loxodrome und Orthodrome - in Näherung - zusammen.

Aber es ist schon seltsam, denn hier habe ich eine Winkeldifferenz (zwischen Start und Ziel) von 0,62°, was immerhin fast 70km entspricht. Auf offener See, vieleicht unter rauen Wetterbedingungen, würde ich den Kutter wohl kaum erreichen, wenn ich zwischendurch keine Kurskorrektur vornähme.

Im Hinblick auf diese Winkeldifferenz, müsste man wohl alles wieder neu rechnen; nämlich sowohl Länge wie auch der Richtungswinkel der Loxodrome! Denn schließlich will ich ja den Kutter sicher erreichen, der braucht nämlich Hilfe smile

smile

. Was meint ihr?

18.03.2020, 13:05

Huggy

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RE: Fähre soll Kutter erreichen

Zitat:

Original von Michael_77!
Aber es ist schon seltsam, denn hier habe ich eine Winkeldifferenz (zwischen Start und Ziel) von 0,62°, was immerhin fast 70km entspricht.

Wie kommst du da drauf? Eine Winkeldifferenz von 1° entspricht auf 100 km einer Abweichung von ca. 1.7 km. Man wird also jedenfalls in Sichtweite zu dem Kutter kommen.

18.03.2020, 13:23

Michael_77!

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RE: Fähre soll Kutter erreichen
Ja, stimmt. Bin von 1° Abweichung auf der Erdkugel mit U=40.000 km ausgegangen. Aber das darf ich ja nicht tun. Es geht ja um den Kurswinkel in Bezug auf Strecken. Danke für den Hinweis Huggy.

Also, kann ich ruhig den Kurs 26,5° halten und werde dann nach der berechneten Zeit t den Kutter in Sichtweite haben!

Übrigens: das Thema Seenavigation ist ein interssantes Thema und sehr umfangreich. smile

smile

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