Konvergenzradius minus unendlich

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tr Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius minus unendlich
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgendes Problem:
Für die Potenzreihe ((-1)^n)/((n!)^2*2^2n) *x^2n soll bestimmt werden, für welche x diese konvergiert.

Meine Ideen:
Ich wollte zuerst den Konvergenzradius berechnen, wobei bei mir -unendlich rauskommt. Kann das sein oder habe ich einen Fehler gemacht? Bei unendlich bedeutet es ja, dass die Reihe für alle x konvergent ist, aber bei minus unendlich? Außerdem habe ich zur Berechnung y=x^2 substituiert, das heißt, ich müsste ja noch die Wurzel ziehen, aber die kann ich ja schlecht aus minus unendlich ziehen? Danke für alle Hinweise und Tipps.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius minus unendlich
Zitat:
Original von tr
((-1)^n)/((n!)^2*2^2n) *x^2n


Warum verwendest du kein LaTeX? Deine Formel ist kaum lesbar. Immerhin will ich anerkennen, daß du bemüht bist, Klammern korrekt zu setzen. Allerdings nicht ganz erfolgreich. Ich könnte nämlich wetten, daß die beiden 2n in den Exponenten von 2 beziehungsweise x gehören. Da fehlen also Klammern.

Der Konvergenzradius einer Potenzreihe ist eine nichtnegative reelle Zahl oder unendlich. Etwas anderes kommt nicht in Frage. Insbesondere nicht minus unendlich. Vermutlich hast du irgendwo vergessen, Betragsstriche zu setzen. Aber das weißt letztlich nur du selber, denn deinen Rechenweg hast du ja nicht vorgestellt.
tr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius minus unendlich
Sorry erstmal dafür, mit Latex bin ich leider wenig erprobt und weiß nicht genau, wie ich damit die Formeln richtig schreibe. Es stimmt, da fehlen zwei Klammern, ich dachte aber, dass es so klar ist und sonst viel zu unübersichtlich wird.

Danke aber für deinen Hinweis, war ein dummer Fehler, ich habe tatsächlich einfach die Betragsstriche vergessen. Aber wenn das Ergebnis nun unendlich ist, muss ich ja trotzdem noch resubstituieren. Wie mache ich das jetzt? Ich kann ja aus unendlich wie gesagt keine Wurzel ziehen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du substituierst also: . Wenn der Konvergenzradius unendlich ist, heißt das doch, daß die Reihe für alle konvergiert. Dann konvergiert sie doch zwangsläufig für alle , denn mit erreichst du gerade einige oder alle der . Der Konvergenzradius bleibt also unendlich.

Als ich vor 16 Jahren hier im MatheBoard anfing, hatte ich noch nie etwas von LaTeX gehört (ist ein bißchen geschwindelt: gehört hatte ich schon davon, aber das war auch alles). Dann habe ich mit dem Formeleditor Formeln geschrieben. Nach wenigen Tagen habe ich das System durchschaut und alle wesentlichen Sprachelemente drauf gehabt. Besondere Fälle habe ich in einem Kompendium, das ich mir irgendwo heruntergeladen habe, nachgeschaut, oder ich habe hier bei andern Nutzern gespickt (der "Zitat"-Knopf ist da sehr hilfreich). Ich kann jetzt vielleicht keine Examensarbeit in perfektem LaTeX-Stil schreiben, aber um eine Formel lesbar darzustellen, dazu reicht es allemal.
tr Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank. Meine Idee war, dass die Reihe ja für alle t konvergiert, aber dann nur für positive x, da ich ja die Wurzel ziehen muss und x ja aus den reellen Zahlen kommt. Oder mache ich da einen Denkfehler?

Okay, das klingt ja so als wäre es doch nicht ganz so schwer, dann werde ich das auf jeden Fall fürs nächste Mal ausprobieren mit LaTeX Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Der Denkfehler liegt im Wurzelziehen (alter Schülerfehler).
Aus x² = 4 folgt eben nicht nur x = 2, sondern x = 2 oder x = -2 . smile
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man muß ja hier auch von der anderen Seite denken. Ich vermute einmal, daß tr



substituiert hat. Dann entsteht die Reihe



Diese besitzt in der Exponentialreihe eine konvergente Majorante, konvergiert also für alle reellen . Anders gesagt: Für den Konvergenzradius gilt: . Diese letzte Gleichung ist nur eine "Schein"-Gleichung. In Wahrheit ist das nämlich nur eine abgekürzte Schreibweise für das kursiv Geschriebene. Ob jetzt durch die Substitution alle reellen erreicht werden oder nicht, ist völlig gleichgültig. Für diejenigen , die erreicht werden, konvergiert die Reihe, weil sie ja für alle reellen konvergiert. Auch für jede andere Funktion , die auf den reellen Zahlen definiert ist und in diese abbildet, gilt das. Die Reihe konvergiert für alle (selbst wenn sie dann gar keine Potenzreihe mehr ist). mag den optimalen Grad an "Schönheit" besitzen (Differenzierbarkeit, Stetigkeit) oder den maximalen Grad an "Häßlichkeit" (totale Unstetigkeit).
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