Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))

10.03.2020, 11:46

KonverDiv

Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))

Guten Tag,

ich beschäftige mich aktuell mit folgender Grenzwert Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{0.1}}{(\log(x))^{8}} \end{eqnarray*}$

Meiner ersten Einschätzung nach gehen sowohl die Funktion im Zähler $\begin{eqnarray*} x^{0.1} \end{eqnarray*}$ als auch die im Nenner $\begin{eqnarray*} (\log(x))^{8} \end{eqnarray*}$ gegen unendlich. Ich habe hier also erstmal den Fall Limes von unendlich durch unendlich vorliegen.

In diesen Fällen würde man, so habe ich das zumindest einmal gelernt den L'Hospital anwenden. Das Problem ist, wenn ich das mache, stehe ich wieder vor der gleichen Problematik, dass ich wieder unendlich durch unendlich habe. Ich drehe mich hier etwas im Kreis und suche daher nach Hilfe.

Laut WolframAlpha ist der gesamte Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{0.1}}{(\log(x))^{8}} = \infty \end{eqnarray*}$ unendlich

10.03.2020, 12:45

Huggy

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RE: Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))

Zitat:

Original von KonverDiv
In diesen Fällen würde man, so habe ich das zumindest einmal gelernt den L'Hospital anwenden. Das Problem ist, wenn ich das mache, stehe ich wieder vor der gleichen Problematik, dass ich wieder unendlich durch unendlich habe.

Man darf l'Hospital auch mehrfach hintereinander anwenden!

Das erspart man sich, wenn man

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{0.1}}{(\log(x))^{8}} =\left (\frac {x^{\frac {0.1} 8}} {\ log (x)} \right )^8 \end{eqnarray*}$

beachtet und dann erst mal den inneren Grenzwert berechnet.

10.03.2020, 12:55

KonverDiv

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RE: Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))
Hi, danke für deine Antwort! Die Vereinfachung ist interessant!

Aber ist nicht der innere Grenzwert wieder unendlich durch unendlich, da ja das Polynom gegen unendlich geht und der Logarithmus auch?

10.03.2020, 12:59

Ulrich Ruhnau

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RE: Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))

Zitat:

verbessertes Original von KonverDiv
ich beschäftige mich aktuell mit folgender Grenzwertaufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{0.1}}{(\log(x))^{8}} \end{eqnarray*}$

Hier kann man gut substituieren mit $\begin{eqnarray*} x = e^t \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{0.1}}{(\ln(x))^{8}} =\lim_{t \to \infty} \frac{(e^t)^{0.1}}{(\ln(e^t))^{8}} =\lim_{t \to \infty } \frac{e^\frac{t}{10} }{t^8} =\infty \end{eqnarray*}$

Dazu muß man sich nur die Taylorentwicklung der Exponentialfunktion anschauen.

10.03.2020, 13:02

Huggy

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RE: Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))
Rechne doch mal den inneren Grenzwert mit l'Hospital vor. Beachte

$\begin{eqnarray*} x^a=e^{a \ln (x)} \end{eqnarray*}$

10.03.2020, 14:09

KonverDiv

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RE: Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))
@Ulrich Ruhnau, Die Idee mit der Substitution ist auch gut!

@Huggy, Ich rechne einmal den inneren Grenzwert vor:

$\begin{eqnarray*} g = \log(x), \quad g' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f = x^{\frac{0.1}{8}} \quad f' = \frac{1}{80x^{\frac{79}{80}}} \end{eqnarray*}$

Alles zusammen dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{f'}{g'} = \frac{\frac{1}{80x^{\frac{79}{80}}}}{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt[80]{x}}{80} \end{eqnarray*}$

Grenzwert ist folglich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[80]{x}}{80} = \infty \end{eqnarray*}$

Leider konnte ich deine Anmerkung nicht (für mich sinnvoll) einbringen

10.03.2020, 15:25

Huggy

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RE: Grenzwert ermitteln von (x^(0.1))/(log(x)^8))

Zitat:

Original von KonverDiv
Leider konnte ich deine Anmerkung nicht (für mich sinnvoll) einbringen

Das macht nichts. Es geht ja auch ohne diese Umschreibung. Mit ihr hat man:

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} e^{a \ln x}=\frac {a e^{a \ln x}}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} \ln x=\frac 1 x \end{eqnarray*}$

Es kürzt sich dann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ weg. Ob man das als einfacher ansieht als deine Rechnung ohne die Umschreibung, ist Geschmacksache.

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