Kartenziehen mit Wahrscheinlichkeit

10.03.2020, 17:11

Cr1t

Kartenziehen mit Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo,

In meine Stochastik Klausur kam eine frage dran, die so aussah:

Sie haben einen Stapel mit unendlich vielen Karten die Rot oder Schwarz sein können.

Mit Wahrscheinlichkeit p ziehen sie eine Rote Kart (1) und mit (1-p) eine Schwarze (o). Wir Interessieren uns für das erstmalige auftreten der Ereignisse $\begin{eqnarray*} (1,1):=f_{11} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (1,0)=f_{10} \end{eqnarray*}$ . Erklären sie wieso die Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} f_{11}= p(2p + (1 - p)(f_{11} + 2)) + (1 - p)(f_{11} + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{10} = p(((1)/(1-p))+1)+(1-p)(f_{10}+1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Überlegung war jetzt über einen Wahrscheinlichkeitsbaum zu argumentieren (Da ich die anderen Erklärungen aus "nur Worten" nicht verstanden hab). Bei mir kam Folgendes raus (Siehe Bilder) Was aber nicht das gleiche ist. kann mir jemand sagen, wo ich den Fehler in meiner Überlegung hab? (Und irgendwie wird mir das LaTex nicht richtig angezeigt, ich hoffe aber, dass der Bruch verständlich aufgeschrieben wurde)

Lg

PS: Oh, einen Fehler seh ich grade, bei dem linken Bild, muss natürlich vor der Summe noch ein p stehen, also hab ich für f10 = p+(1-p)f_10

Willkommen im Matheboard!
Ich habe die beiden Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Außerdem noch die LaTeX-Tags ergänzt.

Viele Grüße
Steffen

10.03.2020, 17:46

Ulrich Ruhnau

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RE: Kartenziehen mit Wahrscheinlichkeit
Vielleicht hättest Du die Aufgabe heimlich mit dem Smartphone fotografieren sollen. Denn so ist die Aufgabe leider hoffnungslos unklar.

10.03.2020, 17:56

Crit

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Also:

Seien $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ unabhängige 0-1 Experimente mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Wir wollen schauen, wann das erste mal die Sequenz [1,1], bzw [1,0] auftreten. Zeigen sie wieso die Gleichungen für die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} f_{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{10} \end{eqnarray*}$ stimmen.

Macht es das ein wenig Klarer?

10.03.2020, 18:15

Ulrich Ruhnau

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Die Sequenzen [1,1], bzw [1,0] werden bei unbegrenzter Versuchsanzahl mit Sicherheit irgend wann auftreten. So gibt es noch nichts auszurechnen. Im übrigen finde ich es blöd, die Aufgabe anhand mitgebrachter oder vorgeschlagener Formeln zu erraten.

10.03.2020, 18:22

Crit

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DAS die Ereignisse eintreten ist klar, die frage ist nur mit welcher Wahrscheinlichkeit. das kann mit den formeln Ausgerechnet werden (einfach nach f auflösen und man hat eine funktion in abhängigkeit von p). ich würde aber gerne wissen, wie ich auf besagte gleichungen komme.

und ich hab die aufgabe ja nur gestellt bekommen und nicht selbst gestellt...

13.03.2020, 09:37

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Crit
Seien $\begin{eqnarray*} X_{i} \end{eqnarray*}$ unabhängige 0-1 Experimente mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Wir wollen schauen, wann das erste mal die Sequenz [1,1], bzw [1,0] auftreten. Zeigen sie wieso die Gleichungen für die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} f_{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{10} \end{eqnarray*}$ stimmen.

[attach]50773[/attach]
Welche Sequenz tritt zuerst auf?

Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} f_{1,1} \end{eqnarray*}$ , mit der die Sequenz rote Karte - rote Karte zuerst auftritt, ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f_{1,1}=p^2\big(1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+\ldots\big)=\frac{p^2}{1-(1-p)} =\frac{p^2}{p}=p \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} f_{1,0} \end{eqnarray*}$ , mit der die Sequenz rote Karte - schwarze Karte zuerst auftritt, ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f_{1,0}=p(1-p)\big(1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+\ldots\big)=\frac{p(1-p)}{1-(1-p)} =\frac{p(1-p)}{p}=1-p \end{eqnarray*}$

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