Schrägspiegelung an einer Ebene

10.03.2020, 18:51

lollllllllllll

Schrägspiegelung an einer Ebene

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Hier ist eine Abbildungsmatrix gegeben wobei es sich um eine Spiegelung an einer Ebene handelt Wir sollen die Spiegelungsebene bestimmen und eine Spiegelungsrichtung daraus.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 4 & -3 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kenne den umgekehrten Weg, wie man eine Abbildungsmatrix für eine Spiegelung an einer Ebene erstellt. Man nimmt die Geradengleichung der Richtung der Spiegelung und bestimmt den Schnitpunkt mit der Ebene. Den verdoppelten Parameterwert setzt man wieder ein und erhäöt die Abbildungsmatrix. Aber ich weiss nicht wie ich von der abbildungsmatrix den weg zurück komme.
Es wäre super wenn jemand es vorrechnet ich möchte es verstehen.

Danke im Voraus !

10.03.2020, 23:25

Ulrich Ruhnau

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RE: Schrägspiegelung an einer Ebene
Man muß hier die Eigenvektoren und die Eigenwerte suchen. Zwei Eigenwerte sind 1 und einer ist -1. Die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert 1 spannen die Spiegelebene auf, während der dritte Eigenvektor zum Eigenwert -1 senkrecht zu der Spiegelebene steht.

11.03.2020, 09:33

seinfeld

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Auf Schulniveau:

Wenn du einen Punkt P per Multiplikation mit der gegebenen Matrix abbildest, dann erhältst du ja einen Spiegelpunkt P ' und der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{PP'} \end{eqnarray*}$ ist dann schon mal deine Spiegelungsrichtung.
Achtung: Man darf keinen Fixpunkt dabei erwischen, also keinen Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird - aber das sollte ja nicht so schwer sein.

Wenn du das ganze Abbildungsspielchen sogar mit 3 geeigneten Punkten machst, dann kannst du jeweils den Mittelpunkt der Strecke PP' bestimmen.
Die sich daraus ergebenen 3 Mittelpunkte sind dann gleichzeitig Punkte der gesuchten Spiegelebene.
Vermeiden muss man hier nur, dass die 3 Ebenenpunkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Ansonsten führt das Bestimmen der Fixpunkte natürlich auch auf die Spiegelebene E durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 4 & -3 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was hier wahrscheinlich sogar etwas schneller geht.

11.03.2020, 18:49

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von seinfeld
Ansonsten führt das Bestimmen der Fixpunkte natürlich auch auf die Spiegelebene E durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 4 & -3 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was hier wahrscheinlich sogar etwas schneller geht.

Ein toller Ansatz! Freude

So etwas habe ich gesucht.
Basierend darauf ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 4 & -4 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$ was dann gleichbedeutend ist mit der Ebenengleichung $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ . Eines finde ich dabei nur äußerst rätselhaft. verwirrt

Eine Spiegelung an der Ebene $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ bekommt man auch durch die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was ist da faul?
[attach]50768[/attach]

11.03.2020, 22:19

Ulrich Ruhnau

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Ich habe auch noch mal die Eigenvektoren angeschaut und mit dem vorherigen Ergebnis verglichen.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-1\quad \vec v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad\lambda_2=1\quad \vec v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\qquad \lambda_3=1\quad \vec v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei ist mir aufgefallen, daß wegen $\begin{eqnarray*} \lambda_2=\lambda_3 \end{eqnarray*}$ jede Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec v_2 \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor zur Matrix ist. Außerdem spannen $\begin{eqnarray*} \vec v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec v_3 \end{eqnarray*}$ die Spiegelebene auf. Wenn ich dann die Senkrechte zur Ebene über das Kreuzprodukt bilde, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \vec n=\vec v_2 \times \vec v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das, was ich zum Thema Eigenwerte gelesen habe, richtig verstehe, dann sind nur die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zueinander orthogonal.
Trotz dem wundere ich mich darüber, daß $\begin{eqnarray*} \vec v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ so unterschiedlich sind. Kann mir mal einer erklären warum?

Während meiner Schulzeit hatte ich keine Vektorrechnung. Ich habe sie in meinem Physikstudium auf die harte Tour lernen müssen. Spiegelaufgaben gab es jedoch nicht. Vielleicht ist jemand so freundlich und hilft mir dabei meine Verständnislücken zu schließen.

12.03.2020, 09:48

Huggy

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Trotz dem wundere ich mich darüber, daß $\begin{eqnarray*} \vec v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ so unterschiedlich sind. Kann mir mal einer erklären warum?

Weil du von Anfang an missachtet hast, dass die gegebene Matrix keine orthogonale Spiegelung an der Spiegelebene bewirkt, sondern eine Schrägspiegelung, wie es auch in der Überschrift des Threads steht. So ist z. B. diese Behauptung falsch:

Zitat:

während der dritte Eigenvektor zum Eigenwert -1 senkrecht zu der Spiegelebene steht.

Wie man die Spiegelungsrichtung ermittelt, hat seinfeld schon erklärt.

12.03.2020, 11:26

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Huggy
Weil du von Anfang an missachtet hast, dass die gegebene Matrix keine orthogonale Spiegelung an der Spiegelebene bewirkt, sondern eine Schrägspiegelung, wie es auch in der Überschrift des Threads steht.
Wie man die Spiegelungsrichtung ermittelt, hat seinfeld schon erklärt.

Tja, leider habe ich noch nie etwas von orthogonaler Spiegelung oder von Schrägspiegelung gehört. Und als der Begriff Schrägspiegelung in der Thread-Überschrift auftauchte, habe ich mir nur gedacht, daß der Spiegel irgendwie schräg steht. Begriffe, die man nicht kennt, werden zwangsläufig misachtet. Das ist eben so. Im Übrigen, gehe ich davon aus, daß der Fragesteller beim Betieteln seiner Anfrage einige Phantasie mitbringt und bestimmt kein Experte ist.

Gibt es noch bessere Erklärugen für Schrägspiegelung als ich auf Wikipedia gefunden habe?

12.03.2020, 12:37

Huggy

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Mir war der Begriff Schrägspiegelung auch neu. Da der Begriff in der Wikipedia auftaucht, glaube ich nicht, dass er eine Erfindung des Fragestellers ist. Die Erläuterung in der Wikipedia erschien mir durchaus verständlich.

Etwas mehr mathematisch bedeutet die Erläuterung in der Wikipedia, wenn man einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec\nu_1, \vec\nu_2,\vec \nu_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x=a_1\vec \nu_1+a_2\vec \nu_2+a_3 \vec\nu_3 \end{eqnarray*}$

schreibt, dann ist

$\begin{eqnarray*} M \cdot \vec x=-a_1\vec \nu_1+a_2\vec \nu_2+a_3\vec\nu_3 \end{eqnarray*}$

Bei einer orthogonalen Spiegelung ist $\begin{eqnarray*} \vec\nu_1 \end{eqnarray*}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec\nu_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec\nu_3 \end{eqnarray*}$ .

Nach meiner Kenntnis gehören die Begriffe Eigenwert und Eigenwert nicht zum Schulstoff. Bei Hilfestellungen zu Fragen im Schulbereich, sollte man also auf sie verzichten, wie es seinfeld getan hat.

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