Geometrische Reihe - Berechnung Anzahl Glieder

10.03.2020, 19:30

Gehebrim

Geometrische Reihe - Berechnung Anzahl Glieder

Hallo Zusammen,

ich habe bereits Stunden der Recherche aufgewendet, nun stelle ich meine Frage: Gibt es eine Formel mit der man die Anzahl der Glieder einer endlichen geometrischen Folge berechnen kann? Ich kann nichts finden.

Aufgabe: Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden geometrischen Folgen.
a) 2+4+8+16+...-256

Problem:
-Ich suche einen Weg um die Anzahl der Ziffern zu berechnen (n) ohne die einzelnen Glieder abzählen zu müssen und ohne Sn gegeben zu haben.
-Ich will nicht gezwungen sein eine Tabelle zu erstellen mit jeder einzelnen Ziffer darin

Lösung 1: Sn = a1*(q^n-1)/(q-1)
-Ich nehme mir den Taschenrechner, addiere alle Zahlen der Folge und komme auf 510 = Sn, q = 2.

510 = 2*(2^n-1)/(2-1)
255 = 2^n-1
2^7+1 = 2^n-1
n = 7

Nach der Lösung (510) müsste n aber 9 sein.

Problem in Lösung 1: Mir fehlen zwei angaben, mir fehlt der Wert Sn und der Wert n.

Anmerkung: Ja, es ist eine einfache Aufgabe. Es geht mir hier hauptsächlich herauszufinden, ob es eine Formel nur für die Anzahl n gibt.

10.03.2020, 20:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt schon genauer sein, mit welchem Summanden du anfängst. Für reelle $\begin{align*} q \neq 1 \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} 1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{align*}$

Du kannst auch eine Nummer früher aufhören. Dann heißt das

$\begin{align*} 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} = \frac{q^n-1}{q-1} \end{align*}$

Auf jeden Fall beginnen beide Summen mit $\begin{align*} q^0 = 1 \end{align*}$ . In deinem Beispiel ist $\begin{align*} q=2 \end{align*}$ und $\begin{align*} n=8 \end{align*}$ (erste Variante). Allerdings fehlt vorne die 1. Um die Formel anwenden zu können, ergänzt du die 1 und korrigierst den Fehler, indem du sie gleich wieder subtrahierst:

$\begin{align*} 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^8 = \color{red} 1 \color{black} + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^8 \color{red} - 1 \color{black} = \frac{2^9 - 1}{2-1} \color{red} - 1 \color{black} = 510 \end{align*}$

Oder du klammerst 2 aus:

$\begin{align*} 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^8 = 2 \cdot \left( 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^7 \right) = 2 \cdot \frac{2^8 - 1}{2-1} = 2 \cdot 255 = 510 \end{align*}$

Das umgekehrte Problem, also 510 als Summenwert und 2 als Basis der Potenzen vorgegeben und die Anzahl der Summanden gesucht, ist nur dann sinnvoll lösbar, wenn du dir darüber im Klaren bist, ob du jetzt mit 1 oder $\begin{align*} q \end{align*}$ als erstem Summanden beginnst. Du kannst eine Formel nur auf ein Problem anwenden, für das diese den Vorgang auch beschreibt.

10.03.2020, 21:08

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold

$\begin{align*} 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^8 = \color{red} 1 \color{black} + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^8 \color{red} - 1 \color{black} = \frac{2^9 - 1}{2-1} \color{red} - 1 \color{black} = 510 \end{align*}$

Oder du klammerst 2 aus:

$\begin{align*} 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^8 = 2 \cdot \left( 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^7 \right) = 2 \cdot \frac{2^8 - 1}{2-1} = 2 \cdot 255 = 510 \end{align*}$

oder er modifiziert die Formel:

$\begin{eqnarray*} q^k + ... + q^n = \frac{q^{n+1}-q^{k}}{q-1} \end{eqnarray*}$

10.03.2020, 22:10

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Also zum Problem vom OT:

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} x_1 x_2 ... x_n \end{eqnarray*}$

Dann:

$\begin{eqnarray*} q:=\frac{x_2}{x_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {Anzahl}: \frac{log(\frac{x_n}{x_1})}{log(q)} +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {Summe}: \frac{q \cdot x_n - x_1}{q-1} \end{eqnarray*}$

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

14.03.2020, 14:46

Gehebrim

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten und die Zeit die Ihr investiert habt

14.03.2020, 14:50

Gehebrim

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Anzahl im oberen log(Xn/X1): ist es richtig zu sagen, dass Xn ist die letzte Ziffer der Folge und X1 die erste ist?

14.03.2020, 15:10

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Folgen haben Glieder, keine Ziffern.

mY+

14.03.2020, 16:10

Gehebrim

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erstelle abschließend eine Zusammenfassung von dem was ich durch eure Antworten verstanden habe:

Formel Summe geometrische Formel: Sn = a1*(q^n-1)/(q-1)

Berechnung von q: q = an+1/an (wobei a ein Glied der Folge ist und n die Stelle anzeigt; +1 bedeutet hier a1+1 = a2)

Berechnung von n (Summenformel der geometrischen Formel):
(log(Endwert/Startwert)/log(q))+1
oder anders (log(Xn/X1)/log(q))+1

Mit diesen Formeln ist es mir gelungen erfolgreich Aufgaben zu lösen.

Neue Frage »

Antworten »

Geometrische Reihe - Berechnung Anzahl Glieder

Verwandte Themen