Unwissenschaftlich! Winkel von 20° klassisch gezeichnet berechnen |
| 11.03.2020, 00:24 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Winkel von 20° klassisch gezeichnet berechnen Ein Winkel von 20° kann ausgehend von einer Strecke von 20 mm unmöglich klassich konstruiert werden. Was ist, wenn ein Masslineal noch zugelassen wird? Wie ist dann mit wenigen Schritten der Winkel von 20° exakt gezeichnet zu berechnen und darzustellten? Meine Ideen: Nicht konstruieren, sondern einfach berechnen! |
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| 11.03.2020, 01:27 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Winkel von 20° klassisch gezeichnet berechnen Edit: Vollzitat entfernt (mY+) Was heisst denn "exakt" für die Genauigkeit? Du kannst vom Nullpunkt 18.9 mm als Abszisse und 6.9 mm als Ordinate abmessen. Die Verbindungslinie bildet dann mit der Absizze 20.06° |
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| 11.03.2020, 07:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Benutze ein Geodreieck. |
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| 11.03.2020, 09:23 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder konstruiere ein gleichseitiges Dreieck und verwende die Dreiteilung. Viele Grüße Steffen |
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| 11.03.2020, 14:35 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Winkel von 20° klassisch gezeichnet berechnen Luftikus schreibt: "Was heisst denn "exakt" für die Genauigkeit?" Ist der genutzte Rechenzusammenhang ein "exakter", wird die Genauigkeit der durch Schritte geprägten Ergebnisdarstellung mit mehr investiertem Rechenaufwand immer genauer; bei einer Näherung nicht. Dein beschriebener Lösungsvorschlag zur gestellten Aufgabe basiert auf keinem exakten Berechnungszusammenhang, sondern nur auf einem sehr grob genähertem. Die verallgemeinerte Aufgabe strebt hier nach folgender Lösung: Ausgehend von einer beliebigen Vorgabe-Strecke, beispielsweise von 20,0 mm, ist ein gleichwertig genauer Winkel 20,0° gezeichnet zu berechnen und darzustellen. Bei einer genaueren Vorgabe-Strecke, wie 20,00000 mm soll dann auch eine entsprechend genauere Winkelgrösse 20,00000° gezeichnet berechnet und dargestellt werden. Eine Strecke von 90,00000 mm soll dann quasi einen Winkel von 90,00000° und eine Strecke von 360,00000 mm einen Winkel von 360,00000° erzeugen. |
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| 11.03.2020, 15:16 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Dreiteilung ist konkret gemeint? Eine der gezeichneten genäherten Dreiteilungen, die auch mit mehr Rechenaufwand nicht genauer werden? Oder ist eine nur mit Kreis- und Gerade-Stücken gezeichnete exakt berechnende Dreiteilung gemeint, die mit mehr investiertem Rechenaufwand zu immer genaueren Ergebnis-Darstellungen gelangt? |
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| 11.03.2020, 15:18 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Such Dir was aus. Archimedes, Tomahawk, Origami... |
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| 11.03.2020, 17:17 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Methoden Archimedes=Masslineal, Tomahawk oder auch Rechtwinkelhaken sind Methoden mit probierenden Schritten des Annähern an das ideelle Ergebnis bzw. die ideelle= endlos genaue Platzierung der Werkzeuge. Es sind keine gezeichneten stringenten Rechengänge. Bei einem gezeichneten exakten Berechnen soll das Ergebnis herbei gerechnet und nicht herbei probiert werden. Mit welchen Winkeldreiteilungen wird das erreicht? |
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| 11.03.2020, 17:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt nicht. Die Methode des Archimedes ist exakt. Sie ist nicht euklidisch, denn Archimedes benutzt zusätzlich zu Zirkel und Lineal ein mit dem Radius markiertes Lineal. Auch bei beliebigen euklidischen Konstruktionen geht es niemals um Berechnungen, es geht um Zeichnungen mit vorgegebenen Werkzeugen. |
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| 12.03.2020, 20:21 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es stimmt, elementare Konstruktionen sind keine gezeichneten Berechnungen, denn es fehlt etwas ganz Wesentliches, das ein sinnfälliges Berechnen ausmacht. Die bekannte , oft zitierte elementare Konstruktion für das Verhältnis Pi=Kreisumfang/Durchmesser von Kochanski (1683) ist kein gezeichnetes exaktes Berechnen. Hier kann aus der Abfolge der gezeichneten Objekte von Kreis und Gerade nicht auf das Ergebnis geschlossen werden. Dieses Ergebnis taucht völlig überraschend auf, wie nach einem Zaubertrick. Das Konstruktionsergebnis von Kochanski kann auch mit mehr Rechenaufwand nicht weiter verbessert werden. Es fehlt ein exakter Rechenzusammenhang. Bei einem klassisch gezeichneten exakten Berechnen ist dies der Fall, so wie es hier schon im Matheboard unter dem Thema "Pi gezeichnet exakt berechnen" abgehandelt und aufgezeigt wurde. Mir sind auch gezeichnete exakte Berechnugen für die Winkeldreiteilung bekannt, bei denen die genannten Methoden so verbessert sind, dass die Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Kreis und Gerade) eingehalten werden können. |
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| 12.03.2020, 22:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
pi ist transzendent, also nicht algebraisch, also nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Kochanski hat eine Näherung für pi konstruiert, nicht pi, weil das unmöglich ist. Genau so unmöglich wie die allgemeine Winkeldreiteilung. Wenn du etwas anderes glaubst, dann ist das Unfug. |
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| 12.03.2020, 23:23 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es stimmt, konstruieren lässt sich das Verhältnis Pi und ein Drittelwinkel nicht, wohl aber elementar gezeichnet exakt berechnen und das mit jeder gewünschten Genauigkeit. |
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| 13.03.2020, 00:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim Lesen von "elementar gezeichnet exakt berechnen" kam mir plötzlich eine "da war doch mal was"-Erinnerung. Und richtig, die Boardhistorie von quadrierer legt es an den Tag: Nach zweieinhalb Jahren Pause dürfen wir uns also wieder an diesen Theorien und vor allem Begriffen erfreuen. 
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| 13.03.2020, 08:27 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, hab ich etwas spät gemerkt. Ich verschieb das Geschwurbel mal. Viele Grüße Steffen |
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| 13.03.2020, 09:29 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leopold war damals der Einzige, der sich ernsthaft mit der etwas ungewöhnlichen Problematik eines elementar gezeichneten Berechnens auseinander gesetzt hat. Er hat erkannt: Wenn ich den ganzen Schwulst, von HAL "Neusprech" genannt, entferne, dann bleibt doch Folgendes übrig (sofern ich quadrierer richtig verstanden habe): gleichlange Kreisbögen.gif Der Durchmesser wird zum nächsten Schritt hin verdoppelt, der Mittelpunktswinkel des Kreisbogens dafür halbiert. Dabei bleibt die Länge des Kreisbogens erhalten. Wenn der kleinste Kreis oben der Einheitskreis ist, haben alle Kreisbögen die Länge À. Anschaulich richtet sich der Kreisbogen immer mehr auf und wird nach unendlich vielen Schritten zu einer Strecke. Und dieses Verfahren nennt quadrierer dann gezeichnetes Berechnen von À oder so ähnlich. Mit den aufgezeigten sinnfällig nachvollziehbaren Schritten hat Leopold den Begriff "elementar gezeichnetes Berechnen" anhand vom Verhältnis pi bestens erklärt. Da bleibt für mich die Frage, kennt Jemand eine Quelle, die ein elementar gezeichnetes Berechnen aus dem Begriff "Berechnen" ausschliesst? |
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| 13.03.2020, 13:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann nach "elementar gezeichnetes Berechnen" suchen und findet "Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung" von J. Tropfke (1903). https://books.google.de/books?id=YcwRAwA...rechnen&f=false Ob das etwas nützt außer zum Zeitvertreib, weiß ich nicht. Mich spricht das Buch jedenfalls nicht an. Für viele von uns ist die Geometrie heute nicht mehr so wichtig wie für frühere Mathematiker von Euklid bis Klein (?). Ob die Geometrie etwas berechnet oder nicht, weiß ich nicht. Für mich hat Berechnen immer etwas mit arithmetischen Operationen auf Zahlen zu tun, aber es gibt ja auch geometrische Zahlentheorie und algebraische Geometrie. Bei allem was man in der Mathematik macht sollte man aber immer darauf bedacht sein, keinen Unsinn zu behaupten. |
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| 13.03.2020, 17:39 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist im Allgemeinen richtig, was Elvis schreibt: Bei allem was man in der Mathematik macht sollte man aber immer darauf bedacht sein, keinen Unsinn zu behaupten. Bleibt für die konkrete Themendiskussion die Frage, gibt es hier einen konkreten Unsinn im Blickfeld? Aufgaben zu einem "elementar gezeichnetem Berechnen" der Kreisfläche oder eines Winkel-Verhältnisses gleich gross zu einem vorgegebenen Strecken-Verhältnis sind vielleicht etwas ungewohnt, aber kein Unsinn. Als Aktion weist das gezeichnete Berechnen wesentliche Merkmale eines Berechnens auf, und das sind zuerst Schritte und schließlich auch gezeichnete Grenzprozesse, wie sie für die nichtlineare Zusammenhänge unabdingbar erforderlich sind. |
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| 13.03.2020, 18:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konkreter Unsinn ist hier nicht zu entdecken, weil du konkret gar nichts gemacht hast. Völlig unsinnig ist die Behauptung, mit Zirkel und Lineal die drei klassischen unlösbaren Probleme Quadratur des Kreises, Winkeldreiteilung und Würfelverdoppelung lösen zu können. Die Unlösbarkeit wurde algebraisch bewiesen. Was ist "gezeichnetes Berechnen", welche "Schritte" und "gezeichnete Grenzprozesse" hast du anzubieten ? Was meinst du damit "nichtlineare Zusammenhänge" seien "unabdingbar erforderlich" ? Eine Körpererweiterung ist ein Vektorraum über dem Grundkörper und die (Skalar-)Multiplikation ist linear, die Addition sowieso eine Grundoperation im Vektorraum. Emil Artin hat in beeindruckender Weise die Lineare Algebra für seine Arbeiten in Algebra und Zahlentheorie eingesetzt. |
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| 14.03.2020, 13:41 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich streite nicht ab, dass deine angesprochenen algebraischen Beweise für Unmöglich für elementare Konstruktionen zutreffen, welche die Zusammenhänge, mit denen die Beweise geführt wurden, als Konstruktionszusammenhang hernehmen. Andere Zusammenhänge, wie ich sie mit dem Erhalt-Zusammenhang für die gezeichnet berechnete Kreisbogen-Rektifikation zeige ( https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kreisverhaeltnis.gif oder auch https://www.cohaerentic.com ), liegen dann ausserhalb des Gültigkeitsbereiches für die Folgerungen (Schlüsse) aus dem Unmöglich-Beweis. Zum Beispiel, ausserhalb dessen, was der Lindemannschen Transzendenz-Beweis für Pi abdeckt. Deshalb können mit erfahrungsbasierten Berechnungszusammenhängen auch gezeichnete Rechengänge für Grenzprozesse vorgezeigt werden, welche diese klassischen Aufgaben der Antike nicht nur genähert, sondern exakt berechnen. Theoretisch kann bei diesen gezeichneten Berechnungen die errechnete Genauigkeit mit mehr Rechenaufwand endlos gesteigert werden. Die Anstrengungen beim gezeichneten Berechnen richten sich nicht auf eine unmöglich diskrete Zahldarstellung, sondern auf einen exakten, sinnfällig anschaulich nachvollziehbaren Rechengang und auf Massnahmen wie die Grenzprozesse hierbei verkürzt werden können. Mit dem Umfang aufgewendeter Schritte steigt die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung. Nichtlineare Zusammenhänge haben für mich gekrümmte Kohärenzkurven zur Grundlage. Die Quadratrix von Hippias /Dinostratos (4. und 3. Jh.v.u.Z) ist ein Beispiel hierzu, Lineare und genäherte lineare Zusammenhänge haben Geraden und Kreise mit geringer Krümmung zur Grundlage, wodurch ein Berechnen einfacher wird. Deshalb werden von mir beim gezeichneten Berechnen auch Linearisierungen an der jeweiligen Betrachtungsstelle einer Kohärenzkurve angestrebt und realisiert. So wie du Emil Artin schätzt, so schätze ich Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) wegen seines fundamentalen Vorschlags eine Multisumme von immer kleiner gemachten berechenbaren Dreiecken zu bilden, welche die Kreisfläche bestmöglich ausfüllen und so ein bestmögliches Mass für die Kreisfläche erzeugen. Wie der Vorschlag von Antiphon zu einem endlosen Berechnungsprozess in ein elementar gezeichnetes Berechnen umgesetzt wird, habe ich gefunden und die Realisierung, samt solcher Realisierungen für stark verkürzte Berechnungsprozesse (Grenzprozesse) auf der oben genannter Seite im Internet veröffentlicht und dort insgesamt das elementar gezeichnete Berechnen zur Diskussion gestellt. |
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| 14.03.2020, 15:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht, was dein Problem ist. Die geometrische Konstruktion von pi kann es sicherlich nicht sein. Lässt man einen Kreis mit Durchmesser 1 genau ein mal auf einer Geraden abrollen, so hat man eine Strecke der Länge pi. Berechnen kann man pi ebenfalls, dafür gibt es für jeden Geschmack eine passende konvergente Reihe. Exakt zeichnen und exakt berechnen war noch nie ein Problem. Wer stattdessen mit Näherungen arbeitet, hat die Lösung nicht verstanden. Wenn du glaubst, dass ich deine virenverseuchten Links benutze, hast du dich geirrt. |
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| 16.03.2020, 19:34 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Elvis, du schreibst, „..., so hat man eine Strecke der Länge pi“. Richtig, aber eben nur in grober Ergebnis-Darstellung und nicht nach den Erwartungen der alten Griechen, die quasi ein gezeichneten Zusammenhang-System sehen wollen. Dann schreibst du noch, „...gibt es für jeden Geschmack eine passende konvergente Reihe.“ In diesem Zusammenhang müssen zuerst die konvergenten Produkte als Grenzprozesse für pi genannt werden, die Ausgangspunkt für die entdeckten Reihen wurden. Wer denkt, dass hier mit den numerischen Berechnungen exakte und keine genäherten Ergebnis-Darstellungen erzeugt werden, irrt und hat das Problem der endlosen Berechnungsprozesse mit dem immer weiter fortschreitenden Darstellen der Ergebnisgrösse nicht verstanden. Ein elementar gezeichnetes Berechnen ist als verkürzter Grenzprozess (verbesserte Konvergenz) für pi oder auch die Winkeldreiteilung möglich, unabhängig davon, ob du es ansehen willst oder auch nicht. http:///commons.wikimedia.org/wiki/File:Kreisverhaeltnis.gif oder auch http://www.cohaerentic.com |
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| 16.03.2020, 20:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt wieder alles überhaupt nicht. Wenn ich meinen Fahrrad-Tacho eiche, rolle ich das Rad mit Durchmesser auf einer ebenen Fläche ab, und die Weglänge ist nach einer Umdrehung des Rades exakt . Das ist keine Näherung für irgend etwas anderes, das ist . Eine reelle Zahl ist eine Cauchyfolge rationaler Zahlen oder auch eine konvergente Reihe, denn das ist die Cauchyfolge der Partialsummen, oder eben auch eine Dezimalzahl, und die hat immer unendlich viele Nachkommastellen. Die Dezimalzahl ist keine Näherung für irgend etwas anderes, das ist . Deine Vorstellung von Grenzprozessen war im Mittelalter üblich, und damals hat niemand die reellen Zahlen verstanden. Wir leben heute in der Neuzeit, wir kennen dank Dedekind und anderen schlauen Mathematikern die reellen Zahlen wirklich. Das sind keine (zeitlichen) Prozesse, sondern wohldefinierte Zahlen. Dafür braucht man keine Numerik und keine beschleunigten Prozesse, weil die reellen Zahlen mit Zeit und Rechnen und Fortschritt der Darstellung nichts zu tun haben. Vergiß den alten Quatsch und lerne etwas Neues, sonst machst du dich weiterhin nur lächerlich. |
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| 17.03.2020, 15:04 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Elvis, vergiss deine falsche Einsicht zur Zahl, die du am Ende eines Ausmessen der Abrollstrecke hin schreibst. Ich behaupte, du kannst dir beim Ausmessen der Abrollstrecke oder den unendlichen Produkten und Reihen endlos viel Mühe geben, deine am Ende ermittelte Zahl ist kein exaktes , sondern nur ein genähertes Abbild für das pi-Verhältnis. Wegen des Unterschiedes zwischen dem Verhältnis pi=Kreisumfang/Durchmesser und der reellen Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen, die pi abbildet, symbolisiere ich diese Abbild-Zahl mit pinum, womit pinum nahezu gleich pi gilt. Dein Gleichsetzen pinum=pi schafft Verwirrung, da es die realen Sachverhalte nicht abbildet. Die Kreiszahl ist eine mathematische Konstante, die aus dem Ausmessen bzw. Berechnen des Verhältnisses des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser hervor geht. Während eine jede Zahl, so auch die Kreiszahl, ein Verhältnis ist, gibt es zu keinem beliebig gegebenem Verhältnis eine exakt abbildende Zahl. |
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| 17.03.2020, 17:36 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
QUATSCH. |
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| 17.03.2020, 17:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 17.03.2020, 17:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es, und wer sich für die Geschichte der Zahlen interessiert, dem sei dieses wunderschöne Buch aus dem Jahre 2017 empfohlen : https://www.springer.com/de/book/9783662543382#aboutAuthors |
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| 17.03.2020, 18:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kommt da schnell an philosophische Grundlagenfragen. Ich sehe es so: Reelle Zahlen sind Werdende, die der Mathematiker als Gewordene ansieht. Der Prozeß selbst ist für den Mathematiker schon die Zahl. |
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| 17.03.2020, 19:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reelle Zahlen sind Cauchyfolgen rationaler Zahlen, und weil die Folge nichts anderes ist als die Funktion , ist sie als Ganzes gegeben. Reelle Zahlen lernt man im 1. Semester in Analysis I kennen, ohne sie ist Mathematik und Physik nicht mehr sinnvoll denkbar. (Auch als dedekind'scher Schnitt ist eine reelle Zahl einfach nur da, sie wird nicht gemacht. Ebenso als Punkt auf der Zahlengeraden, man kann einen Standpunkt haben, man muss sich ihm nicht umständlich nähern. "Hier stehe ich, ich kann nicht anders.") Wer bezweifelt heute noch die Existenz einer so einfachen Funktion ? Funktionen sind extensional, sie brauchen keinen Prozeß. Sie können Prozesse ersetzen, die man früher mangels Funktionen gebraucht hat. Ich akzeptiere das Auswahlaxiom (wer tut das nicht ?), also bin ich von der Existenz sehr merkwürdiger Funktionen überzeugt, die weit über die Existenz reeller Zahlen hinausgehen. Ja, ein bißchen philosophisch ist das schon, aber wenn schon Philosophie, dann bitte moderne Varianten und nicht die antiken Paradoxa oder die mittelalterliche Scholastik. |
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| 17.03.2020, 21:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nehmen wir doch gleich Dezimalbrüche. Wann kennt man einen solchen? und die sind ganze Zahlen mit . Die Existenz dieses Objekts ist im wesentlichen gleichbedeutend mit der Existenz der Funktion oder Folge Bei den Intuitionisten muß ein konkret anzugebender Algorithmus sein, die klassische Mathematik läßt für willkürliche Abbildungen zu - irgendwie halt. Ich glaube, die Intuitionisten spielen heute keine große Rolle mehr, sie gelten den andern irgendwie als skurril. Ich selber sehe mich auch nicht als Intuitionisten, verstehe aber die Bedenken dieser Fraktion. Man kann eine reelle Zahl von unten aufbauen: Ich habe gerade wie der berühmte Affe in die Tastatur gehauen. Etwas anderes ist es, von oben her eine Zahl, die irgendwie anders definiert ist, als Dezimalbruch zu beschreiben. Die berühmte Wurzel von 2 ist die positive Lösung der Gleichung . Aber wie sehen nun die Dezimalen dieser Zahl aus? Man kann sie schrittweise nach bekannten Algorithmen berechnen, aber nur so weit, wie es die Kapazitäten der heute vorhandenen Recheninstrumente zulassen. Ich kann, wenn es denn gewünscht wäre, die zehntrilliardste Stelle von angeben. Aber wie sieht die zehntrilliardste Stelle von aus? Ich weiß, daß es sie geben muß, bin aber (noch) nicht in der Lage, sie anzugeben. Ich kenne aber den Prozeß, der zur zehntrilliardsten Stelle von Wurzel 2 führt, weil ich den Algorithmus, der das leistet, verstanden habe. Also glaube ich, daß die Wurzel von 2 als fertiges Objekt existiert. Prozeß verstehe ich hier nicht unbedingt als Algorithmus, sondern nur als Fortschreiten, um weitere Dezimalen anzugeben. Der Prozeß, um oben zu erzeugen, war halt: hau einfach in die Tasten, mal links, mal rechts, mal in der Mitte. Auch dieses hat eine zehntrilliardste Stelle. Ich kenne sie sogar, weil ich sie mir gerade ausgedacht habe. Du, Elvis, aber kennst sie nicht. Immerhin hast du eine Chance von 10 Prozent, sie zu erraten. (Und wenn du wüßtest, daß ich mir gerade ausgedacht habe, daß egal, was du rätst, ich immer die modulo 10 um 1 kleinere Zahl nehme, dann würdest du mich Hütchenspieler verfluchen …) |
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| 17.03.2020, 22:41 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deinen Beitrag, der freundlich aber bestimmt darauf hinweist, dass unser Wissen über reelle Zahlen nicht vollständig ist. Kann ja nicht sein, weil schon unser Wissen über winzige Teile wie die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen unvollständig ist, von der Zahlentheorie im allgemeinen ganz zu schweigen, die sich auch nur mit algebraischen Zahlkörpern beschäftigt, die uns total überfordern. Ja wir wollen wissen, doch wir kommen immer und überall an die Grenzen unserer Möglichkeiten. Trotzdem haben wir ein paar Definitionen, Sätze und Beweise über Zahlen aller Art und über andere Objekte und Strukturen, so dass wir schon ein wenig Einsicht in einige Theorien haben. Und es nervt mich, wenn ahnungslose Leute sich aufspielen, als wenn sie das Hühnerei erfunden hätten - für heute ist es genug, und ab morgen werde ich versuchen, mit Unsinn gelassen umzugehen, kann aber nicht garantieren, dass mir das immer oder auch nur manchmal gelingt. |
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| 18.03.2020, 11:41 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe, Leopold macht mit seinem Beispiel den Unterschied von Zahl und Verhältnis sehr gut anschaulich nachvollziehbar. Jede zum Verhältnis pi errechnete bzw. ausgemessene Zahl hat letztlich nur endlich viele wahre Nachkommastellen und bildet damit das Verhältnis pi immer nur genähert ab. Das Gleichsetzen des Verhältnisses pi mit einer Zahldarstellung 3,14159... wird durch folgende gedankliche Vereinbarung möglich. Die drei Punkte stehen symbolisch dafür, als ob alle unendlich viele noch fehlenden wahre Nachkommastellen bekannt bzw. vorhanden seien. Schon der chinesische Philosoph Konfuzius (551-479 v.u.Z.) hat erkannt, „Der Weg ist das Ziel“. Ich meine diese Weisheit trifft auch auf das Phänomen Berechnen zu und damit sowohl auf gezeichnete, wie auch auf numerische Berechnungen des Kreisverhältnisses pi oder des Drittelwinkels. Die interessante Frage ist daher, auf welcher Kohärenz-Grundlage wird berechnet? Ist der zugrunde gelegte Berechnungszusammenhang ein exakter oder nur ein genäherter? Eine ganz wichtige Frage ist hier für mich, wie man dabei zu verkürzten Berechnungsprozessen gelangen kann, so dass mit weniger Schritten ein gleich genaues Ergebnis errechnet und dargestellt wird und damit die Konvergenz deutlich verbessert ist? |
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| 18.03.2020, 12:03 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deinen ersten Absatz verstehe ich, obwohl ich mit den Begriffen "Zahl" und "Verhältnis", die bei dir ganz eigene Bedeutungen bekommen, nicht einverstanden bin. Beim zweiten Absatz verstehe ich noch den ersten Satz. Aber dann kommen wieder deine gezeichneten Berechnungen auf Kohärenz-Grundlagen uuaaaahhh … Da wird's dann wieder esoterisch. Das ist hierfür das falsche Board. Ich denke, du findest anderswo bessere Aufmerksamkeit für deine Anliegen. |
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| 18.03.2020, 12:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie versprochen halte ich mich zurück, denn es ist nicht gewinnbringend, immer nur gegen die Wand zu reden. 
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| 18.03.2020, 14:34 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber zumindest, daß du nichts sagen wirst, wolltest du noch sagen … 
Noch einmal ernsthaft zur Frage, ab wann etwas als existent betrachtet wird. Wenn man Fünftkläßler unterrichtet, behandelt man zu Anfang noch einmal den Aufbau des Dezimalsystems: Einer, Zehner, Hunderter, das Fortschreiten in Drei-Stufen-Schritten: Tausender, Millionen, Milliarden, Billionen, Billiarden. Man erwähnt dann, daß es weitere Namen gibt und verbreitet etwas Magie mit so geheimnisumwitterten Wörtern wie Quintilliarden. Und dann kann es schon sein, daß ein Schüler fragt, wie das denn weitergeht. Vielleicht kann man als Lehrer noch die nächsten Stufen nennen. Insbesondere mit humanistischer Bildung und nicht ganz verdrängten Lateinkenntnissen ist man da klar im Vorteil. Um am Ende aber schließlich zugeben zu müssen: Jetzt weiß ich auch nicht mehr weiter. Da hat einen der Schüler also erwischt. Der Lehrer, der vorher noch großsprecherisch irgendwas von Oktillionen gefaselt hat, ist mit seinem Latein am Ende. Ein Pubertierender in der Mittelstufe würde jetzt seine kleine erfolgreiche Provokation genießen. Die kleinen Fünftkläßler denken aber noch anders. Da ist der Lehrer eine Autoritätsperson (Leopold! Und von was träumst du nachts?). Der Lehrer weiß es nicht, also gibt es das auch nicht. Denn wenn es das gäbe, wüßte es der Lehrer auch und würde es uns sagen. In der Tat ist auffallend, daß bei Zehn- oder Elfjährigen die Existenz einer Sache ganz eng damit zusammenhängt, daß ich sie auch bezeichnen kann. Im Buch Genesis lesen wir in Kapitel 2: 19 Gott, der HERR, formte aus dem Erdboden alle Tiere des Feldes und alle Vögel des Himmels und führte sie dem Menschen zu, um zu sehen, wie er sie benennen würde. Und wie der Mensch jedes lebendige Wesen benannte, so sollte sein Name sein. 20 Der Mensch gab Namen allem Vieh, den Vögeln des Himmels und allen Tieren des Feldes. Aber eine Hilfe, die dem Menschen ebenbürtig war, fand er nicht. Hätte Adam irgendeinem Wesen, das da gar nicht gekrochen, gelaufen oder geflogen gekommen wäre, denn einen Namen geben können? Es wäre ja gar nicht dagewesen. Nicht existent. Also braucht es auch keinen Namen. Ich versuche dann, den Schülern verständlich zu machen, daß es auch Zahlen gibt, die keinen aussprechbaren Namen haben. Es kann sein, daß ich an die Tafel 476018475832910466987256107155973334007885837 schreibe und die Schüler auffordere zu sagen, wie die Zahl heiße. Schweigen. Keiner weiß es. Dann das Geständnis des Lehrers: Ich weiß es auch nicht. Aufatmen. Dann bitte ich einen Schüler, doch genau darunter die Zahl zu schreiben, die der unmittelbare Nachfolger dieser Zahl sei. Und da melden sich viele. Und fast alle (nicht unbedingt alle) wissen, wie es geht. Und schon habe ich das Induktionsaxiom von Peano behandelt. Die Schüler erkennen, daß hier ein Prozeß abläuft, den man immer weiterführen kann. Vor ihrem geistigen Auge entstehen immer mehr und weitere Zahlen. Es wird (!) die Menge der natürlichen Zahlen. Und dann schreiben wir die gewordene (!) Menge hin: (Die schließende Klammer ist etwas unheimlich. Wo ist denn da der Platz für die unendlich vielen Zahlen?) Die Pünktchen werden erklärt: Da kommen dann die nächsten, erst 7,8,9, dann viele weitere, irgendwann schließlich auch 476018475832910466987256107155973334007885837 und ihr Nachfolger. Und noch immer ist kein Ende in Sicht. Es ist eine nicht zu unterschätzende geistige Leistung, die Menge als etwas Fertiges wahrzunehmen (das ist auch ein wichtiger Punkt in Cantors naivem Mengenbegriff). Wir haben bloß einen Prozeß beschrieben, und trotzdem glauben wir, daß dieser an ein Ende kommt, das aber nicht in Sicht ist, von dem wir sogar wissen, daß wir es nie erreichen werden. Cantor nimmt diesen Gedanken auf, wenn er am Ende dieses Prozesses furchtlos weiterzählt: "Der Weg ist das Ziel", sagt, wie wir gehört haben, Konfuzius. Der oben beschriebene Prozeß selbst ist letztlich die Menge . Ich gebe mich allerdings keinen Illusionen hin, daß, nur weil wir bei den Schülern als Merksatz irgendetwas von der Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen ins Heft aufgeschrieben haben, jeder Schüler das auch verstanden hat. Auch dieses Verständnis ist ein sich allmählich entwickelnder geistiger Prozeß. Manche Schüler schaffen diesen Schritt nie. Natürlich reden auch sie von unendlich, aber nur weil sie es hundertmal gehört haben. In Wahrheit bedeutet für diese Schüler unendlich nur so viel wie "wahnsinnig groß" und Schluß damit. Gleich oder bald danach. Und manchmal frage ich mich, ob ich selbst das auch wirklich verstanden habe. |
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| 18.03.2020, 18:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für Schüler ist das sicher der richtige Zugang, langsam anfangen und niemanden überfordern ist bestimmt gut. Für das gewöhnliche Rechnen und das Üben der Grundrechenarten mit kleinen Zahlen reicht das auch völlig aus. Wenn ich mich an meine Schulzeit erinnere, dann hat unser Lehrer eine gute Basis in Analysis vermittelt ohne dass wir verstanden haben, was reelle Zahlen sind, das haben wir dann im 1. Semester im Studium gelernt. Als Erwachsener aber und besonders als Mathematiker darf und kann man nicht da stehen bleiben, was für Kinder und Jugendliche gut verständlich und für Lern- und Anwendungszwecke genug ist. Ich zitiere von der Rückseite des Buches von Stefan Müller-Stach, Springer Spektrum, 2017 ZITAT ANFANG Die beiden Bücher „Was sind und was sollen die Zahlen?“ (1888) und „Stetigkeit und Irrationale Zahlen“ (1872) sind Dedekinds Beiträge zu den Grundlagen der Mathematik; er legte darin die Grundsteine der Mengenlehre und der Theorie der reellen und natürlichen Zahlen. Diese Schriften sind aus der modernen Mathematik nicht mehr wegzudenken. Dennoch wurde die Leistung Dedekinds nicht immer entsprechend gewürdigt und der Inhalt dieser Bücher ist auch heute noch vielen Mathematikern wenig bekannt. Dieses Buch enthält neben den Originaltexten eine ausführliche Erklärung der beiden Schriften und eine Interpretation in moderner Sprache, sowie eine kurze Biografie und eine Abschrift des berühmten Briefs an H. Keferstein. Dadurch bietet dieses Buch einen faszinierenden Einblick in das Leben und Schaffen dieses wegweisenden Wissenschaftlers und stellt sein Werk in Beziehung zu großen Zeitgenossen wie Cantor, Dirichlet, Frege, Hilbert, Kronecker und Riemann. ZITAT ENDE Wer diese nicht einmal 200 Seiten verdaut hat, kennt einen auch heute noch sehr modern anmutenden und weitgehend richtigen Zugang zu den natürlichen und den reellen Zahlen. Nach dem Studium diese Buchs kann man unmöglich noch an die Endlichkeit des Systems der natürlichen Zahlen glauben und genau so wenig an den Quark, den uns die Kreisquadrierer, Winkeldreiteiler, Flacherdler und andere (... zensiert / Elvis ... (... man sieht, ich halte mich im Zaum ...
)) weismachen wollen. |
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| 19.03.2020, 18:33 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Loepold, was ist falsch an den Bedeutungen, die du bei meinen benutzten Begriffen Zahl, Verhältnis, gezeichnetes (geometrisches) Berechnen und Zusammenhang-bzw. Kohärenz-Grundlage siehst? Welche Bedeutungen (Inhalte) haben bei dir die Begriffe Zahl und Verhältnis? Erst wenn wir unsere unterschiedlichen Sichtweisen klar benennen, werden wir weniger aneinander vorbei reden. Das von dir vermutete Esoterische wird sich dann in Nichts auflösen. Bei mir ist eine jede diskrete Zahl nach einem letzten Darstellungsschritt ein Verhältnis, z.B. 5/1, das nach Vereinbarung bei den meisten Taschenrechnern als 5,000000000 mit neun wahren Nachkommastellen dargestellt wird und nach weiterer Vereinbarung dann sogar nur noch als 5 hingeschrieben wird. Hingegen ist bei mir ein beliebig gegebenes natürliches Verhältnis eine Abroll-Strecke oder ein Winkel usw, aber keine Zahl. Das natürliche, beim gezeichneten Berechnen erzeugte geometrische Verhältnis kann nur in eine diskrete Zahl mit Restfehler abgebildet (digitalisiert) werden. Dieser Sachverhalt ist für dich sicherlich nicht neu? |
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| 19.03.2020, 18:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin nicht nachtragend, aber ein Nachtrag möge mir gestattet sein. Stefan Müller-Stach schreibt im Kapitel 1. Historische Einführung 1.2 Dedekinds mathematisches Umfeld 1.2.2 Das Ende der Größenlehre ZITAT ANFANG Die neuen Begriffe von Mengen und Mannigfaltigkeiten bedeuteten auch eine Abkehr von der Mathematik der Zeit, in der Zahlen meist nur Synonyme für Größen wie Maße oder physikalische Einheiten waren. Moritz Epple hat diesen Umbruch das "Ende der Größenlehre" genannt [...]. Im Vorwort zur ersten Auflage von Was sind und was sollen die Zahlen ? geht Dedekind auf sein Buch Stetigkeit und Irrationale Zahlen ein und grenzt seine Theorie der Schnitte von den "meßbaren Größen" scharf ab. In diesem Zusammenhang erwähnt er das Beispiel einer (unstetigen) Geometrie über den algebraischen Zahlen. Dedekind beförderte mit seinem Buch somit bewusst das Ende der Größenlehre und einiger anderer historisch gewachsener Denkweisen. ZITAT ENDE Für mich sind die natürliche Zahl , die reelle algebraische Zahl und die reelle transzendente Zahl reelle Zahlen. Sie sind als abstrakte Objekte unseres mathematischen Denkens deutlich zu unterscheiden von den zugehörigen Größen auf meinem Rechenschieber, mit dem ich ungefähr rechnen und ungefähr messen kann. Zahlen gehören zur Mathematik, Größen gehören zur Physik. |
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| 19.03.2020, 20:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sehe ich auch so: sind reelle Zahlen verschiedener Provenienz. Bei und gibt es Algorithmen, um sie beliebig genau anzugeben. Wir glauben an die Existenz dieser Zahlen und können immer weitere Stellen berechnen, so weit eben unsere eigenen oder maschinellen Rechenfähigkeiten es zulassen. Wir sehen diese Zahlen als eindeutige Individuen des reellen Zahlenkontinuums an, mit einem festen Platz darin. Das Kontinuum besteht aus diesen einzelnen Individuen, jedes getrennt vom andern mit ganz viel Raum dazwischen. Und doch bilden all diese Individuen den zähen klebrigen Strang der reellen Zahlengeraden. Schneidet man ein einzelnes Individuum heraus, erhält man zwei Halbgeraden, der Zusammenhang geht verloren, obwohl dort, wo jetzt das Loch ist, links und rechts davon die Individuen so dicht aufeinander hocken, daß kein Platz dazwischen verbleibt. Es ist verrückt! Diskretheit und Kontinuum gehen eins, obwohl unsere physikalische Weltdeutung dieses eigentlich nicht zuläßt. Die reellen Zahlen sind Objekte unseres Denkens, keine physikalischen Realitäten. Damit aber dieses Kontinuum entstehen kann, darf man nicht nur solche Individuen zu Zahlen erklären, die durch einen klar beschriebenen endlichen Algorithmus bestimmt sind, sondern muß auch willkürliche Entstehungsprozesse zulassen. Unfertige Zahlen, die doch irgendwie als fertig angesehen werden. Ich könnte zum Beispiel Passanten auf der Straße bitten, mir irgendeine ganze Zahl von 0 bis 9 zu nennen und die Ziffern der Reihe nach aufschreiben: 0,545305284... Und das mache ich jeden Tag so, mein ganzes Leben lang. So entsteht Stück für Stück eine reelle Zahl, meine ganz persönliche Zahl zwischen 0 und 1. Was kommt im Alphabet nach ? ? Dann nenne ich diese Zahl jetzt einfach , die Leopold-Konstante. Ich glaube an die Existenz von , obwohl ich, wenn ich das Zeitliche segne, nur ein paar Millionen Stellen dieser Zahl kenne, unendlich viele aber nicht. Ein paar Millionen durch unendlich gibt aber 0. Also kenne ich die Zahl eigentlich nicht. Und doch ist sie da, meine ganz eigene reelle Zahl mit der persönlichen Leopold-Note, unübertroffen herrlich und glänzend ragt die Heldin aus dem Kontinuum der reellen Zahlen hervor. Elvis, du mußt zugeben, das ist verrückt! Das Auswahlaxiom ist schnell dahergesagt und den Anfängern wird erklärt, daß man das als einleuchtend anzusehen habe. Aber es ist in Wahrheit eine Ungeheuerlichkeit. Die komplizierten Umstände der Schleswig-Holstein-Frage im 19. Jahrhundert, ob oder welches Stück jetzt zu Dänemark oder zum Deutschen Bund gehört, hat den britischen Premier Palmerston zum Seufzer veranlaßt: "Only three people have ever really understood the Schleswig-Holstein business — the Prince Consort, who is dead — a German professor, who has gone mad — and I, who have forgotten all about it." Damit es mir nicht wie jenem Professor geht, höre ich jetzt auf. |
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| 19.03.2020, 20:41 | quadrierer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Elvis, du schreibst, „Zahlen gehören zur Mathematik, Größen gehören zur Physik.“ Dagegen habe ich nichts einzuwenden. Aber die Betrachtungen zu geometrischen Verhältnis-Grössen, wie zum Kreisverhältnis pi = Kreisumfang/Durchmesser der Physik zuzuordnen, finde ich nicht richtig. Bei meinen gezeichneten Berechnungen zur geometrischen Kreisverhältnis-Grösse pi startet das gezeichnete Berechnen mit gegebenem Kreisumfang und Kreisdurchmesser. Diese geometrischen Verhältnis-Grössen stehen hier wohl schon der Mathematik näher als der Physik. |
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| 19.03.2020, 22:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Das schönste an der Mathematik ist, dass sie völlig verrückt ist, da stimme ich dir ganz und gar zu. Der Wohlordnungssatz, das Zorn'sche Lemma und das Auswahlaxiom sind drei Seiten derselben Medaille (entschuldige bitte das hinkende Bild), wir kommen ohne diesen Irrsinn nicht aus, und deswegen glauben wir daran und weil es keinen Grund gibt, nicht daran zu glauben und weil unsere geschulte Intuition deutlich ja dazu sagt. Glückwunsch, die Wahrscheinlichkeit, dass die Leopold-Konstante transzendent ist, ist gleich 1. @quadrierer Geometrie ist Mathematik. Ich erspare uns, alle Geometrien zu nennen, die ich kenne und mit denen ich gearbeitet habe, denn das kann man gut bei Wikipedia finden. Zeichnungen haben als Hilfsmittel für unser Denken über Mathematik im allgemeinen und für unser Denken über Geometrie im besonderen ihre Berechtigung, aber Zeichnungen sind nicht mathematisch und nicht geometrisch. Zeichnungen sind für die moderne Mathematik absolut überflüssig und als Beweismittel sogar verboten, weil sie uns täuschen können. Egal was du machst, es hört sich alles falsch an, was du sagst. Sobald du einen Kreis nicht denkst sondern zeichnest, ist es ein physikalischer und kein mathematischer Kreis. |
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