Norm eines bestimmten Operators

13.03.2020, 16:02	Rathlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm eines bestimmten Operators Meine Frage: Hallo, Ich arbeite gerade an einer Aufgabe für meine Quantenmechanik-Vorlesung. Dabei geht es um Operatornormen. Gegeben habe ich den Operator $\begin{eqnarray} \operatorname{M}: \, L^2(0,1) \rightarrow L^2(0,1): \, f(x) \mapsto (\operatorname{M}f)(x) = m(x)f(x) \end{eqnarray}$ Nun muss ich beweisen, dass der Operator beschränkt ist und, dass seine Norm $\begin{eqnarray} \left\lVert \operatorname{M} \right\rVert = 1 \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} m(x) = \begin{cases} 0 \qquad \qquad \qquad 0 \leq x < \tfrac{1}{4} \\ 2(x-\tfrac{1}{4}) \qquad \enspace \tfrac{1}{4} \leq x \leq \tfrac{3}{4} \\ 1 \qquad \qquad \quad \enspace \, \, \tfrac{3}{4} < x \leq 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Beweise ich, dass $\begin{eqnarray} \left\lVert \operatorname{M} \right\rVert = 1 \end{eqnarray}$ gilt, so habe ich automatisch bewiesen, dass der Operator beschränkt ist. Nur komm ich dabei nicht wirklich weiter. Meine Ideen: Weit bin ich nicht gekommen, denn ich weiß nicht wie ich ab hier weitermachen soll. Ist der Ansatz womöglich falsch? $\begin{eqnarray} \left\lVert \operatorname{M} \right\rVert \enspace = \enspace \operatorname{sup}_{\left\lVert f \right\rVert = 1} \left( \, \left\lVert m(x)f(x) \right\rVert \, \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \qquad \, \enspace = \enspace \operatorname{sup}_{\left\lVert f \right\rVert = 1} \left( \sqrt{ \int_0^1 \, m^2(x) \, \|f(x)\|^2 \, \mathrm{d}x } \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \qquad \, \enspace = \enspace \operatorname{sup}_{\left\lVert f \right\rVert = 1} \left( \sqrt{ \int_{1/4}^{3/4} \, 4(x-\tfrac{1}{4}) \, \|f(x)\|^2 \, \mathrm{d}x + \int_{3/4}^1 \, \|f(x)\|^2 \, \mathrm{d}x } \right) \end{eqnarray}$ Ich bitte um Rat. MfG Rathlos
13.03.2020, 16:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm eines bestimmten Operators Wegen $\begin{eqnarray} \|m\|\leq 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \int m^2(x)f^2(x)dx\leq\int f^2(x)dx \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ beschränkt mit $\begin{eqnarray} \\|M\\|\leq 1 \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man sich auf die Suche nach einem passenden $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ machen, so dass $\begin{eqnarray} \int m^2(x)f^2(x)dx = \int f^2(x)dx \end{eqnarray}$ ist. Hier nutzt man die besonders einfache Struktur von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ aus
16.03.2020, 03:55	Rathlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deinen Ansatz, hab damit jetzt auch weitergerechnet und bin auf ein vernünftiges Ergebnis gekommen. Danke dir für die Hilfestellung! Grüße, Rathlos

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