Widerstand ist zwecklos! |
| 14.03.2020, 12:41 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Widerstand ist zwecklos! Auf den 12 Kanten eines Würfels befinden sich 12 gleiche Widerstände . Sie sind über widerstandslose Drähte entlang der Kanten mit den Ecken des Würfels verbunden. Die Drähte sind an den Ecken miteinander verlötet. Wie groß ist der Widerstand zwischen zwei auf einer Raumdiagonale gegenüberliegenden Ecken? Hinweis: Für die Lösung ist kein Studium der Physik oder Elektrotechnik erforderlich. |
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| 14.03.2020, 13:26 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Serielle Schaltung über 3 Kanten, also 3R. |
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| 14.03.2020, 14:03 | Nils Hoppenstedt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Widerstand ist zwecklos! Zur besseren Beschreibung stelle ich den Würfel mal auf die Spitze und lasse den Strom von oder oberen Spitze zur unteren Spitze fließen. Dann gibt es zwischen den Spitzen zwei Etagen mit jeweils drei Ecken. Verfolgt man nun den Weg eines Gesamtstroms I von der oberen bis zur unteren Spitze, so teilt sich teilt sich der Strom aus Symmetriegründen auf dem Weg von der oberen Spitze bis zur oberen Etage jeweils in I/3 pro Kante. Sobald die Ecken der oberen Etage erreicht sind, gehen nun wieder jeweils 2 Kanten pro Ecke zu den Ecken der unteren Etage. Entlang jeder dieser Verbindungskanten fließt also jeweils die Hälfte, also I/6. In jeder der Ecken der unteren Etage kommt nun also der Strom aus zwei Richtungen an. Pro Ecke fließt also nun wieder I/3 entlang der drei Verbindungskanten zur unteren Ecke. Auf jeden direkten Pfad von der oberen Spitze zur unteren Spitze fällt also die folgende Spannung ab: U = I/3*R + I/6*R + I/3*R = 5/6*R*I Der Gesamtwiderstand ist also R_ges = 5/6*R Nils |
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| 14.03.2020, 14:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das war einmal eine - gar nicht so einfache - Aufgabe in meiner Uni-Zeit. 3R stimmt nicht. Ich hatte dies damals mit den Kirchhoff'schen Regeln als 5R/6 berechnet. mY+ |
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| 14.03.2020, 14:25 | Nils Hoppenstedt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier noch eine Skizze zu meinem Vorschlag. |
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| 14.03.2020, 14:44 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Widerstand ist zwecklos!
Das stimmt natürlich und ist gut erklärt. |
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| 14.03.2020, 15:48 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kirchhoff'sche Regeln oder Gesetze. Harald Lesch hat gesagt, Gesetze kann man ändern: https://www.youtube.com/watch?v=k7P8XYM2...kUzgZQESdRXync8 07:20-08:20 
Gut, ich habe in der Schule nicht aufgepasst. 
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| 14.03.2020, 19:18 | Nils Hoppenstedt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Falls Dir die Mathematik näher liegt als die Physik, kann man das Netzwerk auch über einen Random-Walk analysieren. Dazu betrachtet man einen Walker, der auf den Kanten des Würfels umherirrt und an jeder Ecke, an der ankommt eine zufällige Kante für seinen weiteren Weg auswählt. Erstaunlicherweise gilt dann: Der Gesamtwiderstand R_ges zwischen oberer Spitze A und unterer Spitze B ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeit P, dass ein Walker der bei A startet die Spitze B erreicht bevor er zu A zurückkehrt. Für die Umrechnung der Einheiten gilt dabei: R_ges = Ra/P Hierbei ist Ra der Kehrwert der Summe der reziproken Widerstände aller Leitungen, die von A abgehen. In unserem Fall also Ra = 1/(1/R + 1/R + 1/R) = R/3 Falls jemand Lust, könnte man das hier ja mal überprüfen. Es müsste P = 2/5 herauskommen.... P.S.: https://math.dartmouth.edu/~doyle/docs/walks/walks.pdf |
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| 15.03.2020, 09:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein erstaunlicher Zusammenhang.
Das kommt heraus. Die Ecken des Würfels seien unten mit A, B, C, D bezeichnet und oben mit E, F, G, H jeweils beginnend mit der Ecke links vorne und entgegen dem Uhrzeigersinn. Es werde der Widerstand zwischen den Ecken A und G gesucht. Das Problem ist symmetrisch zur Raumdiagonale AG. Also sind die Ecken in der Gruppe {B, D, E} und in der Gruppe {C, F, H} äquivalent. Diese Symmetrie wurde auch bei dem Weg über die Kirchhoff'schen Gesetze ausgenutzt. Von A kommt man mit Wahrscheinlichkeit 1 zu einer der Ecken in der Gruppe {B, D, E}. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also die Wahrscheinlichkeit, mit der man von dieser Gruppe nach G kommt, ohne vorher nach A zu kommen. Von dieser Gruppe kommt man mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 zu einer der Ecken der Gruppe {C, F, H}. Die Wahrscheinlichkeit, mit der man von dieser Gruppe nach G kommt, ohne vorher nach A zu kommen, sei . Von dieser Gruppe kommt man mit Wahrscheinlichkeit 1/3 nach G und mit Wahrscheinlichkeit 2/3 zu einer Ecke der Gruppe {B, D, E}. Damit hat man: Das ergibt |
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| 15.03.2020, 21:41 | Nils Hoppenstedt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Cool! Und sehr clever gelöst! 
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