Inhomogenes Gleichungssystem

14.03.2020, 19:32

damian89

Inhomogenes Gleichungssystem

Meine Frage:
Ich muss folgendes Inhomogenes Gleichungsystem lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -9 \\ -6 & 6 & -9 & 15 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -21 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Meine Ideen:
Meine Frage wäre ob ich die Matrix auf der linken Seite überhaupt mit x_1, x_2.... multiplizieren muss. Oder kann ich diese auch getrost weglassen?

EDIT(Helferlein): Latexklammern gesetzt und Folgeposting gelöscht.

14.03.2020, 19:51

Elvis

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Beim Gauß-Algorithmus lässt man den unbekannten Vektor weg und rechnet nur mit der erweiterten Koeffizientenmatrix.

15.03.2020, 08:32

damian89

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Ok Danke. Ich bin jetzt so weit mal gekommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & 9 & -1 \\ 0 & 11 & -11 & 6 & -22 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich nun weiter vor? In der Zweiten Zeile habe ich ja noch drei unbekannte. Wäre für eine kleine Hilfe Dankbar

15.03.2020, 08:53

Elvis

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Falsch. Addiere die erste Zeile 6 mal zur zweiten Zeile. Du hast sogar beim abschreiben der ersten Zeile einen Fehler gemacht. Dividiere dann die zweite Zeile durch 36. Subtrahiere die zweite Zeile 5 mal von der ersten Zeile und lies die Lösungsmenge ab.

15.03.2020, 09:14

Ulrich Ruhnau

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RE: Inhomogenes Gleichungssystem

Zitat:

Original von damian89
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -9 \\ -6 & 6 & -9 & 15 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -21 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

der nächste Schritt wäre
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -9 \\ -6{\color{Plum}+6\cdot 1}& 6{\color{Plum}+6\cdot 5} & -9{\color{Plum}+6\cdot(-1)} & 15{\color{Plum}+6\cdot (-9)} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -21{\color{Plum}+6\cdot (-1)} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

16.03.2020, 14:35

damian89

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Ok ich bin nun bis hier angelangt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & \frac{-13}{12} & \frac{43}{12} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ -\frac{11}{4}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich nun weiter vor? Ich habe hier ja immer noch zwei Unbekannte.

Ich habe nun ja diese Gleichung: $\begin{eqnarray*} -\frac{13}{12} x_{3} +\frac{43}{12} x_{4}=-\frac{11}{4} \end{eqnarray*}$

Danke

16.03.2020, 15:29

Elvis

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Du hast dich wieder verrechnet. Die beiden Zeilen müssen mit 1 0... und 0 1... anfangen.
Tipp : Lerne erst rechnen mit Zahlen und Grundrechenarten und dann den Gauß-Algorithmus. Dahinter steckt nicht viel mehr als das Additionsverfahren für Gleichungen mit mehreren Variablen, dass wir schon aus der Schule kennen.
Bevor du die Lösungsmenge ablesen kannst, solltest du die Theorie der Vektorräume und Untervektorräume und Quotientenräume in der Linearen Algebra verstanden haben und wissen, wie man die Theorie auf die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen anwendet. (Wenn die Gleichung mit x3 und x4 stimmen würde, wäre das eine Ebene im 4-dimensionalen Raum, was ja an sich nicht schlecht wäre - nur leider ist die Gleichung falsch.)
Deine Matrizen - Gleichung kann man so auch nicht schreiben, denn eine 2x4-Matrix ist keine 2x1-Matrix.

16.03.2020, 22:45

damian89

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Habe mir die Grundrechenarten nochmals angesehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{13}{12} &-\frac{43}{12} \\ 0 & 1 &-\frac{5}{12}&-\frac{13}{12} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{11}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.03.2020, 07:11

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \begin {pmatrix} 10ab|c\\01de|f\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Setze x3=s, x4=t. Dann ist x1=c-as-bt, x2=f-ds-et der richtige Ansatz zur Bestimmung der Lösungsmenge. Dieser Durchschnitt von 2 3-dimensionalen Räumen ist eine Ebene.
Man schreibt L={(c, f, 0,0)+s(-a,-d,1,0)+t(-b,-e,0,1)}, womit man die Ebene direkt vor Augen hat.

17.03.2020, 08:25

Ulrich Ruhnau

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Nun wird aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{13}{12} &-\frac{43}{12} \\ 0 & 1 &-\frac{5}{12}&-\frac{13}{12} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{11}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zunächst einmal $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{13}{12} &-\frac{43}{12} \\ -\frac{5}{12}&-\frac{13}{12} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{11}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wir müssen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ isolieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{11}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{13}{12} &-\frac{43}{12} \\ -\frac{5}{12}&-\frac{13}{12} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sei nunmehr $\begin{eqnarray*} x_3=\lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 = \lambda_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{11}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{13}{12} &\frac{43}{12} \\ \frac{5}{12}&\frac{13}{12} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder besser noch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{11}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} -\frac{13}{12} \\ \frac{5}{12} \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} \frac{43}{12} \\ \frac{13}{12} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ frei wählbare Parameter sind. Da fällt mir gerade ein, daß ich $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ in der Lösung nicht unterschlagen darf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{11}{4} \\ -\frac{3}{4} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} -\frac{13}{12} \\ \frac{5}{12} \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} \frac{43}{12} \\ \frac{13}{12} \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.03.2020, 09:16

Elvis

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Das habe ich auch schon geschrieben. Die paar Zahlen hätte damian89 auch selbst einsetzen können.

17.03.2020, 16:11

damian89

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Vielen Dank für die Mühe Freude

Eine letzte Frage noch: Muss ich die Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\\ x_{4}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ immer mitschleppen? Oder kann ich diese immer am Anfang weglassen?

17.03.2020, 17:29

Elvis

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Du sollst den x-Vektor und das Gleichheitszeichen weglassen, so wie ich es oben gemacht habe. Vom Anfang bis zum Ende lässt man alle Unbekannten weg.

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