Integration Polarkoordinaten Grenzen

16.03.2020, 03:04	Hendrik73	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Polarkoordinaten Grenzen Meine Frage: Ich soll den Flächeninhalt einer Rose vom Graphen $\begin{eqnarray} r=3\cos(3\theta) \end{eqnarray}$ berechnen. Wie finde ich die Integrationsgrenzen bei dieser Art von Aufgabe? Meine Ideen: .
16.03.2020, 08:07	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration Polarkoordinaten Grenzen Gibt es Hinweise, in welchem Intervall sich das theta bewegt? Am besten postest du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut.
16.03.2020, 14:12	Henrik73	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischen 0 und 2À. Ist eher eine Verständnisfrage, gibt keine Aufgabenstellung
16.03.2020, 14:17	Henrik73	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 0\leq\theta\leq2\pi \end{eqnarray}$
16.03.2020, 14:34	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} A=\int_{0}^{2\pi} \! d\theta \int_{0}^{3r\cos \theta} \! dr'r' \end{eqnarray}$ Nils
16.03.2020, 14:57	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Korrektur: das r in der oberen Integralgrenze muss natürlich weg. Außerdem kann die Funktion r(theta) nicht so wie beschreiben aussehen, da r nicht negativ werden darf.
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16.03.2020, 20:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne das auch so, daß man in der Polardarstellung für den Radius $\begin{align} r \geq 0 \end{align}$ voraussetzt. Aber ich habe auch schon anderes gesehen. Und warum auch nicht? Ein negatives Vorzeichen führt zu einer Richtungsumkehr wie sonst auch. Man erhält dann die dreiblättrige Kurve der Graphik. [attach]50787[/attach] Für $\begin{align} r = 3 \cos(3 \vartheta) \end{align}$ berechnet $\begin{align} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} r^2 ~ \dd \varphi \end{align}$ den Flächeninhalt der oberen Hälfte des rechten Blattes. Integriert man von 0 bis $\begin{align} \pi \end{align}$ , erhält man den Inhalt aller drei Blätter.
16.03.2020, 22:31	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hast Recht. Im Falle eines negativen r werden die Polarkoordinaten (theta, r) einfach mit den Koordinaten (theta + pi, -r) identifiziert.

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