Vollständige Induktion : 2^n > n^3

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion : 2^n > n^3
Hallo ihr lieben smile

Ich möchte die Ungleichung per vollständiger Induktion über zeigen.
Den Induktionsanfang wähle ich bei n = 10.
Nun:
.

Nun, das wollte ich am liebsten ohne weitere Induktion lösen. Dabei habe ich mich leiten lassen vom Beweis .
Aber hier weiß ich nun nicht weiter.
Bekomme ich das überhaupt sauber abgeschätzt?

Virenfreie Grüße von
Maren smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ist etwa , danach lassen sich ähnliche Abschätzungen vornehmen. smile
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Iorek. Darf ich dann das hier machen?
, weil bereits bewiesen wurde?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dürfen schon, die Frage ist aber: was bezweckst du damit? Du willst ja eigentlich auf die Ungleichung hinaus, da bringt es dir ja nichts das nach unten gegen abzuschätzen.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt Hammer

Hm, dann kann ich leider deinen Hinweis nicht umsetzen. Ich verliere ja einen Grad, daher wächst ja dann (n+1)^3 schneller als 20n^2 verwirrt
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu Maren,



Kommst du damit weiter?
 
 
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Huhu Maren,



Kommst du damit weiter?


Aber das habe ich doch im Einganspost verfasst verwirrt
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Naja - nach Iorek gilt nun doch:



Nun gilt aber auch wieder für analog

Damit kannst du nun rot weiter abschätzen.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, dahin ging der Hinweis Hammer



Super, danke sehr Freude
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte (konsequenterweise) eigentlich im Kopf:



Wink
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, achso Big Laugh
Aber meine Abschätzung geht auch, oder?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, wenn du sie begründen kannst (darum ging es dir doch hier, einen sauberen Beweis aufzuschreiben) ist doch alles gut! Du müsstest eben jedes Relationszeichen begründen können:





für alle

für alle

für alle
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Super, das hilft mir sehr. Denn genau um dieses Formale geht es eigentlich bei meiner nächsten Frage Big Laugh
Ich habe versucht, ganz allgemein zu beweisen, indem ich den Induktionsanfang abhängig von k wähle.
Jedenfalls glaube ich, dass ist mir nun gelungen, würde euch das gerne zeigen.
Soll ich dazu einen neuen Thread aufmachen?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Da es mit dieser Frage zusammenhängt, kannst du auch gerne hier fragen.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder smile

Also, ich habe folgendes gemacht.

Behauptung:

Beweis per VI über n:

(IA) : Wähle . Es ist . Dies wurde bereits bewiesen und ist damit wahr.

(IS):
, wegen der Wahl von .
Weiterhin gilt:
.

Was sagt ihr dazu?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaPalui
Da bin ich wieder smile

Also, ich habe folgendes gemacht.

Behauptung:

Was sagt ihr dazu?


k=2, n=3: 8<9
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja. Da war ich mit der Behauptung zu vorschnell.
Ich würde sie ändern zu
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaPalui
Ich würde sie ändern zu

Ich vermute, dass du tatsächlich wohl eher



meinst.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

danke für deinen Einwand. Genau, das war die Aussage die ich meine Freude
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaPalui
Da bin ich wieder smile

Also, ich habe folgendes gemacht.

Behauptung:

Beweis per VI über n:

(IA) : Wähle . Es ist . Dies wurde bereits bewiesen und ist damit wahr.

(IS):
, wegen der Wahl von .
Weiterhin gilt:
.

Was sagt ihr dazu?


Mit


gewählt


widerspricht der Voraussetzung:


Welches n(k) wird denn allgemein für die Induktionsvoraussetzung gewählt?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus

Welches n(k) wird denn allgemein für die Induktionsvoraussetzung gewählt?


Denke mal, dass für

()



mit


eine sichere Wahl für die IV ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@MaPalui

Deinen Beweis vom 19.03., 16:03 betrachtet kann man ja folgendes feststellen:

Der Induktionsschritt klappt, nur beim Induktionsanfang hakt es ein wenig, wie das Gegenbeispiel von Luftikus zeigt. Aber es lässt sich einfach reparieren, indem man als Startindex statt wählt. Der Induktionsschritt klappt damit ja auch, und das für den Induktionsanfang nötige ist dann äquivalent zu , und das wiederum gilt ja für alle . Damit ist die Lücke geschlossen und man kann sagen

.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr zwei,

vielen Dank für eure Rückmeldungen!
Ich hab auch nachvollzogen was gemeint ist und werde mir den Beweis damit nochmal sauber aufschreiben.
Vielen Dank an alle Helfer! Freude

Coronafreie Grüße
Maren smile
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