Teststatistik - eine Zufallsvariable?

18.03.2020, 17:33

manuel459

Teststatistik - eine Zufallsvariable?

Hi Leute,

bei Einstichprobentests muss man ja im Allgemeinen eine Teststatistik konstruieren. Jetzt habe ich im Buch "Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik" (von Toutenburg, 2006), dass dies eine Funktion der Stichprobenvariablen X1,...,Xn ist. Wiederum woanders (Angewandte Statistik, Methodensammlung mit R; Sachs, 2006) steht, dass es eine Funktion von R^n nach R ist.

Was stimmt denn nun?
Zudem: Ist das nicht "schlampig" zu sagen, dass es eine Funktion von Zufallsvariablen ist?
Ganz allgemein ist diese Teststatistik aber keine Zufallsvariable oder etwas doch?

Wäre toll wenn mich jemand aufklären könnte - ev. kennt jemand auch Literatur, in der das einwandfrei erkärt ist - würde mir sehr helfen.

Danke und LG

18.03.2020, 19:36

Huggy

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RE: Teststatistik - eine Zufallsvariable?

Zitat:

Original von manuel459
Zudem: Ist das nicht "schlampig" zu sagen, dass es eine Funktion von Zufallsvariablen ist?
Ganz allgemein ist diese Teststatistik aber keine Zufallsvariable oder etwas doch?

Doch, das ist beides richtig.

Betrachte eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die eine bestimmte Verteilung hat, z. B. eine Normalverteilung. Als Stichprobe aus dieser Verteilung bezeichnet man dann eine Menge von Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} (X_1, X_2, \cdots, X_n) \end{eqnarray*}$ , die alle diese Verteilung haben und unabhängig voneinander sind. Realisiert wird das durch die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -malige Wiederholung einen Zufallsexperiments.

Eine der häufigsten Teststatistiken ist der Mittelwert $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ einer Stichprobe

$\begin{eqnarray*} Y=\frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

und das ist wieder eine Zufallsvariable. Wenn die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind, dann ist die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

19.03.2020, 15:07

manuel459

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RE: Teststatistik - eine Zufallsvariable?
Sind die Zufallsvariablen denn (bei statistischen Tests) IMMER Funktionen von R nach R? Der Definitionsbereich muss doch nicht R sein? Wenns z.B. um die Körpergröße von Personen geht, trifft dies ja bereits garnicht zu.

Hast du zufällig eine Quelle wo steht, dass jede Teststatistik eine ZV ist?

LG

19.03.2020, 16:01

Huggy

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RE: Teststatistik - eine Zufallsvariable?

Zitat:

Original von manuel459
Sind die Zufallsvariablen denn (bei statistischen Tests) IMMER Funktionen von R nach R? Der Definitionsbereich muss doch nicht R sein?

Das ist richtig. Der Ereignisraum muss natürlich nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein. Und der sogenannte Messraum muss auch nicht zwangsläufig $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein, obwohl das in der Anwendung fast immer der Fall ist. Ich gehe davon aus, dass sich Stange nur mit diesem Fall beschäftigt. Wenn nun die die einzelnen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ der Stichprobe in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbilden, dann bildet die Stichprobe $\begin{eqnarray*} (X_1, X_2, \ldots, X_n) \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ab und die Teststatistik von da in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Hast du zufällig eine Quelle wo steht, dass jede Teststatistik eine ZV ist?

Die habe ich nicht. Ich habe aber nie etwas anderes gesehen. Ich wüsste auch nicht, wie das gehen sollte. Es soll ja schließlich aus den Stichprobenwerten eine Testgröße berechnet werden. Die Beispiele in

https://de.wikipedia.org/wiki/Teststatistik

sind auch alle von dieser Art.

Vielleicht macht ja ein Mitleser, der mit der maßtheoretischen Fundierung der Wahrscheinlichkeitstheorie besser vertraut ist als ich, noch einen Kommentar. Ich habe da nur rudimentäre Kenntnisse.

19.03.2020, 16:09

manuel459

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RE: Teststatistik - eine Zufallsvariable?
Hey, vielen Dank für deine Antwort.

Das bringt aber doch etwas Licht in die ganze Sache:

Betrachtet man die Teststatistik T als Funktion von R^n nach R, so wie du es jetzt angedeutet hast, dann ist alles geregelt. Korrekterweise müsste man aber dann sagen, dass die Verteilung von der - naja du weißt was ich meine - Hintereinanderausführung von X1,...,Xn und T bekannt sein muss.

LG

19.03.2020, 16:53

HAL 9000

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Eindimensionale Teststatistiken haben i.d.R. die Form

$\begin{eqnarray*} T = f(X_1,X_2,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$

mit einer sogenannten Stichprobenfunktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . D.h., die Funktion an sich ist deterministisch, da sie aber auf die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ der mathematischen Stichprobe angewandt wird, ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ dann natürlich eine Zufallsgröße.

Was anderes ist es, wenn man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf eine konkrete Stichprobe $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ anwendet, die man ja gemäß Modell als Realisierung $\begin{eqnarray*} x_k=X_k(\omega^*) \end{eqnarray*}$ für ein konkretes $\begin{eqnarray*} \omega^*\in\Omega \end{eqnarray*}$ ansieht. Das zugehörige $\begin{eqnarray*} t = f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ ist dann natürlich eine reelle Zahl, und zwar wiederum $\begin{eqnarray*} t=T(\omega^*) \end{eqnarray*}$ .

Das ganze kann man nun natürlich auch höherdimensional betrachten, sowohl auf der Seite der Stichprobenwerte $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ als auch des Zielraums der Stichprobenfunktion (und damit der Dimension von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ), aber das bringt keine umwerfend neuen Erkenntnisse.

19.03.2020, 17:27

manuel459

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Hallo,

danke für die Ausführung. Das bestätigt nun meine Idee.
Kann es sein, dass die Stichprobenfunktion oft (ebenso) auch als Teststatistik bezeichnet wird?

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Teststatistik - eine Zufallsvariable?

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