Polynomfunktion Wendestelle

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Seppl_Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomfunktion Wendestelle
Meine Frage:
Welche Bedingung müssen die Koeffizienten a und b der Polynomfunktion f: R -> R mit f(x) = ax^6 + bx^4 und a ungleich 0 erfüllen, damit f zwei Wendestellen hat?

Meine Ideen:
Ich hätte es mit der 2.Ableitung und der Diskriminanten versucht. Leider bin ich nie auf das richtige Ergebnis gekommen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomfunktion Wendestelle
Prinzipiell der richtige Ansatz. Wo klemmt es denn?
Seppl1_Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomfunktion Wendestelle
Ich bekomme als Diskriminante heraus: 35b^2 - 5a

In der Lösung steht aber: a>0 und b<0

Willkommen im Matheboard!
Du bist hier zweimal angemeldet, Seppl_Schneider wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Determinante (mit welcher?) wird es wohl nicht gut gehen.
Bilde die 2. Ableitung, klammere aus und sieh dir die Klammer an!
Überlege dir auch den Fall x=0.

mY+
Seppl1_Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich: x^2 (90ax^2 + 36b)

Ich verstehe es leider immer noch nicht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nun setze die Faktoren gleich 0, denn das Produkt muss ja auch Null sein ...
Wie kommst du auf 90 bzw. 36?
 
 
Seppl1_Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Blödsinn, ich habe mich verrechnet. Ich komme jetzt auf 30 und 12. Wenn ich die Klammer auf Null setzte, bekomme ich für a 0 heraus und für b irgendetwas. Könntest du mir den genauen Lösungsweg bitte aufschreiben? Danke!!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

a ist lt. Voraussetzung ungleich Null! Und die Klammer lautet
Jetzt überlege, was wirklich passiert, wenn du die Klammer Null setzst und für welche a,b sich reelle Lösungen ergeben ...

mY+
Seppl1_Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komme ich auf b= -5/2ax^2

Ist das richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppl1_Schneider
Dann komme ich auf b= -5/2ax^2

Ist das richtig?


Wenn du damit b= -(5/2)ax^2 meinst, stimmt es zumindest.
Du solltest allerdings nicht nach b, sondern nach x auflösen!



Welche Beziehung muss (bei a > 0) nun zwischen a und b (hinsichtlich deren Vorzeichen) bestehen, damit diese Gleichung zwei reelle Lösungen hat?

Und: Liefert x = 0 (vom anderen Faktor) einen (weiteren) Wendepunkt?
------

EDIT:
Mittels kann der Zusammenhang allerdings auch gut erkannt werden:
Denn ist für immer größer Null. Somit sieht man auch hier, dass die Vorzeichen von a und b verschieden sein müssen.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Fehler gestrichen.

Hinweis:

Sieht man sich die Funktion dann näher an, so ist erkenntlich, dass im Aufgabentext stehen muss, dass es mindestens zwei Wendestellen geben soll
.

Beispiel Polynom, Grad 5, mit 0 als Wendestelle


mY+
Seppl1_Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!!!!
seinfeld Auf diesen Beitrag antworten »

@ seppl

Beachte aber, dass du noch lange nicht fertig bist.

Als Wendestelle bezeichnet man die x-Koordinate eines Wendepunktes.

Die beiden Stellen und sind zunächst mal nur mögliche Kandidaten für potentielle Wendestellen.
Ob an diesen Stellen auch wirklich ein Wendepunkt vorliegt, dass muss noch geprüft werden.
Dazu würde ich für eine hinreichende Bedingung die dritte Ableitung ins Spiel bringen und bzw. untersuchen.

Vorher würde ich auch noch fordern, also den Fall b=0 sauber betrachten und damit für die Wendestellenbetrachtung ausschließen.

Für die Argumentation warum in x=0 kein Wendepunkt sein kann, kann z.B. die "gerade Vielfachheit" der Nullstelle x=0 des Graphen von f genutzt werden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist leider der Fehler unterlaufen, dass ich anstatt der Originalfunktion deren 1. Ableitung gezeichnet habe.
Somit gibt es nur zwei Wendestellen, der Nullpunkt ist ein Extrempunkt.

Ein Wendepunkt liegt dann vor, wenn eine ungeradzahlige Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist.
Da es hier erst für die 6. Ableitung zutrifft, ist x = 0 keine Wendestelle, wohl aber ein Flachpunkt.



mY+
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