Ähnlichkeit von Dreiecken

20.03.2020, 11:02

Thomas007

Ähnlichkeit von Dreiecken

Hallo miteinander

Ein gleichschenkliges Dreieck wird durch seine Höhe auf die Basis in zwei zueinander kongruente Dreiecke zerlegt.

Was kann man über den Winkel eines Dreiecks aussagen, wenn die Höhe auf die dem Winkel gegenüberliegenden Seite das Dreieck in zwei zueinander ähnliche, aber nicht zueinander kongruente Dreiecke teilt?

20.03.2020, 11:34

Elvis

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Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel. Also muss der Winkel an der Spitze die Summe der Basiswinkel sein.

20.03.2020, 19:26

Leopold

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Ich glaube nicht, daß es in der Frage um gleichschenklige Dreiecke geht, auch wenn im einleitenden Satz von solchen die Rede ist. Vielmehr soll wohl hier erkannt werden, daß die so beschriebenen Dreiecke die .............. Dreiecke sind.

20.03.2020, 19:46

Elvis

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Die Pünktchen ergeben sich aus dem, was ich mir ausgedacht habe. Man muss nur noch bedenken, dass der "Spitzenwinkel" gleich der Summe der beiden anderen, also $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=\gamma \end{eqnarray*}$ , und dann $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma=2\cdot \gamma=180° \end{eqnarray*}$ ist. (Ich dachte, mein erster Hinweis hätte schon einen Schwall neuer Gedanken ausgelöst. Mit ein paar Skizzen kann man das Denken auch selbst anregen.)

20.03.2020, 22:51

Thomas007

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Halt stopp, das verstehe ich nicht ganz...

Warum soll Alpha + Beta = Gamma sein? Das Dreieck muss ja nicht zwingend gleichschenklig sein, oder?

21.03.2020, 07:08

Elvis

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Wir haben die Höhe, also in jedem Teildreieck einen rechten Winkel. Den Winkel links nennen wir alpha, der muss auch im rechten Teildreieck auftauchen, unten dann gleichschenklig. Nicht unten, wo dann? Mache eine Skizze, dann siehst du, was ich sehe.

21.03.2020, 10:59

Thomas007

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Ah, also soll man hier einfach zur Erkenntnis kommen, dass die Winkel bei ähnlichen Dreiecken gleich sind? (Also Winkeltreue herrscht?)

21.03.2020, 11:07

Elvis

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Das ist nicht die Erkenntnis, sondern die Voraussetzung der Aufgabe. Die Erkenntnis ist nach meiner Rechnung $\begin{eqnarray*} 2\cdot \gamma=180° \end{eqnarray*}$ , und dann hat $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ einen bestimmten Wert und einen bestimmten Namen und das ist eine Erkenntnis.

21.03.2020, 11:26

Thomas007

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Achso, klar.
Daraus folgt, dass die Höhe im Winkel zu 90° auf die gegenüberliegende Seite liegt, also Gamma einen rechten Winkel aufweist.

21.03.2020, 14:15

Elvis

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Ja. Zusammenfassend kann man sagen, dass die Höhe ein Dreieck in zwei kongruente Dreiecke zerlegt, wenn das Dreieck gleichschenklig ist, und dass die Höhe das Dreieck in zwei ähnliche Dreiecke zerlegt, wenn es rechtwinklig ist.

21.03.2020, 17:07

Ulrich Ruhnau

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RE: Ähnlichkeit von Dreiecken

Zitat:

Original von Thomas007
Was kann man über den Winkel eines Dreiecks aussagen, wenn die Höhe auf die dem Winkel gegenüberliegenden Seite das Dreieck in zwei zueinander ähnliche, aber nicht zueinander kongruente Dreiecke teilt?

Zwei Dreiecke sind laut Wikipedia zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen.

[attach]50803[/attach]

Wenn wir also die beiden rechten Winkel im Punkt D betrachten, kommen wir wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac ph = \frac hq \end{eqnarray*}$ b.z.w. $\begin{eqnarray*} p\cdot q=h^2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist als Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke bekannt. Also ist $\begin{eqnarray*} \gamma=90° \end{eqnarray*}$

21.03.2020, 19:05

klauss

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RE: Ähnlichkeit von Dreiecken
1.) $\begin{eqnarray*} \underline{Ähnlichkeit \Rightarrow 90°} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Elvis
Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel.

$\begin{eqnarray*} \alpha=\gamma2; \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \beta=\gamma1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\gamma1 + 2\gamma2 =180° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma1 +\gamma2 =90° \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \underline{90° \Rightarrow Ähnlichkeit} \end{eqnarray*}$

Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen ...
$\begin{eqnarray*} \gamma2=\alpha; \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \gamma1=\beta \end{eqnarray*}$

------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} 90° \Longleftrightarrow Ähnlichkeit \end{eqnarray*}$ (excl. Kongruenz)

[attach]50807[/attach]

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