Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke

20.03.2020, 20:15

Leopold

Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke

Nachdem meine Integralaufgabe neulich nicht der große Renner war, versuche ich es jetzt mit ein wenig Geometrie.

$\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ seien die Ecken eines Dreiecks in der euklidischen Ebene. Für einen Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ der Ebene seien $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ die Abstände zu $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ .
Was ist der geometrische Ort aller Punkte $\begin{align*} X \end{align*}$ , wenn man aus den Längen $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren kann.

21.03.2020, 00:16

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke
Ich hoffe mal, ich habe die Aufgabe richtig verstanden, wenn ich - aus praktischen Gründen allerdings mit geänderten Bezeichnungen - wie folgt zusammenfasse:

Wir haben 3 Punkte, die ein Dreieck bilden, mit ihren Koordinaten
$\begin{eqnarray*} A(a_{x}|a_{y}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(b_{x}|b_{y}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C(c_{x}|c_{y}) \end{eqnarray*}$
und Punkte $\begin{eqnarray*} P(x|y) \end{eqnarray*}$ ,
für die alle gelten soll
$\begin{eqnarray*} \overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2}=\overline{PC}^{2} \end{eqnarray*}$

Falls diese Interpretation von "konstruieren" nicht stimmt - macht nix, die Lösung ist trotzdem interessant.

Ich beschränke den schreibintensiven Rechenweg auf die nötigsten Angaben:

Obige Gleichung lautet in Koordinaten:
$\begin{eqnarray*} \left(x-a_{x} \right)^{2}+ \left(y-a_{y} \right)^{2}+\left(x-b_{x} \right)^{2}+\left(y-b_{y} \right)^{2}=\left(x-c_{x} \right)^{2}+\left(y-c_{y} \right)^{2} \end{eqnarray*}$

Nach Ausmultiplizieren, quadratischer Ergänzung und Bereinigung lande ich schließlich bei

$\begin{eqnarray*} \left[x+\left(c_{x} -a_{x}- b_{x} \right) \right]^{2}+ \left[y+\left(c_{y} -a_{y}- b_{y} \right) \right]^{2}=2\left[\left(a_{x}-c_{x} \right)\left(b_{x} -c_{x} \right)+\left(a_{y}-c_{y} \right)\left(b_{y} -c_{y} \right) \right] \end{eqnarray*}$

Zur Veranschaulichung habe ich es mit den Punkten
$\begin{eqnarray*} A(1|1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(4|3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C(2|4) \end{eqnarray*}$
versucht, was die sehr schöne Kreisgleichung
$\begin{eqnarray*} \left(x-3\right)^{2}+y^{2}=2 \end{eqnarray*}$
liefert, und auch Punktproben (im Bild exemplarisch $\begin{eqnarray*} P(2|1) \end{eqnarray*}$ ) bestätigen die Rechnung.

Ein Rollentausch der Punkte A, B, C wird ja hoffentlich nur eine Ortsverlagerung des Kreises bewirken.

21.03.2020, 00:53

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem man ja die Längen beliebig kombinieren kann, muss es noch weitere Kreise geben.
Der Punkt Q(2|3) im Inneren des Dreieckes z. B. erfüllt ebenfalls die Bedingung.

mY+

21.03.2020, 02:13

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke
Mit dem angesprochenen Rollentausch
$\begin{eqnarray*} \overline{PB}^{2}+\overline{PC}^{2}=\overline{PA}^{2} \end{eqnarray*}$
erhält man die Kreisgleichung
$\begin{eqnarray*} \left(x-5\right)^{2}+\left(y-6\right)^{2}=18 \end{eqnarray*}$
die den Punkt (2|3) erfaßt.

21.03.2020, 07:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt könntest du noch allgemein beschreiben, welche speziellen Punkte die Mittelpunkte der Lösungskreise im Blick auf das Ausgangsdreieck sind. Und was ist mit deren Radien? Existieren immer alle Kreise?

21.03.2020, 13:37

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke
Gehören die Punkte A,B,C zu einem Rechteck, dann sehe ich folgende Lösung:
[attach]50802[/attach]

21.03.2020, 14:01

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Da war klauss aber doch schon weiter. Du hast einen speziellen Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ gefunden, falls $\begin{align*} ABC \end{align*}$ rechtwinklig ist. Der gezeichnete Kreis auf jeden Fall ist nicht Teil des geometrischen Ortes, der die Aufgabe löst. Lediglich dein Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ ist eine spezielle Lösung.

21.03.2020, 14:15

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke
Ein erstes Zwischenergebnis, das freilich noch eines allgemeinen Beweises harrt:
Kein Lösungskreis existiert offenbar, wenn die rechte Seite
$\begin{eqnarray*} \left(a_{x}-c_{x} \right)\left(b_{x} -c_{x} \right)+\left(a_{y}-c_{y} \right)\left(b_{y} -c_{y} \right) \end{eqnarray*}$
obiger Gleichung 0 wird.
Das schreibe ich um:
$\begin{eqnarray*} \left(c_{x}-a_{x} \right)\left(c_{x} -b_{x} \right)+\left(c_{y}-a_{y} \right)\left(c_{y} -b_{y} \right) = \begin{pmatrix} c_{x} -a_{x} \\ c_{y} -a_{y} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} c_{x}-b_{x} \\ c_{y} -b_{y} \end{pmatrix} =...=\overrightarrow{AC} \circ \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$
Also wenn die Punkte A, B, C bereits ein rechtwinkliges Dreieck bilden mit der Hypotenuse $\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es nur einen Punkt, der die Bedingung erfüllt, nämlich derjenige, der das Dreieck zum Rechteck ergänzt.

Fortsetzung folgt (evtl.) ...

21.03.2020, 14:28

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke
Vielleicht mag quadrierer die weitere Schlußfolgerung für negatives Skalarprodukt beisteuern ...

21.03.2020, 16:12

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir bewegt sich Punkt X schon auf dem Kreis, wenn ax und bx im Rahmen der Vorgabe, Rechteck, variiert werden, indem Punkt C auf dem Kreis im Zugmodus bewegt wird.

21.03.2020, 23:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist bei festem Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ die Menge aller Punkte $\begin{align*} X \end{align*}$ mit der angegebenen Eigenschaft gesucht. Du gibst da nur einen Punkt an, es gibt aber unendlich viele. Natürlich ist auch interessant, wie sich der geometrische Ort der Punkte $\begin{align*} X \end{align*}$ ändert, wenn sich das Dreieck ändert. Das kommt aber sozusagen hinterher. Erst ist einmal der geometrische Ort selbst gesucht. Du solltest nicht hinter das zurückgehen, was andere längst herausgefunden haben. Lies die Beiträge der andern.

21.03.2020, 23:34

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke

Zitat:

Original von Leopold
Was ist der geometrische Ort aller Punkte $\begin{align*} X \end{align*}$ , wenn man aus den Längen $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren kann.

[attach]50811[/attach]
Hier ist wohl der Satz des Thales gefragt. Sofern der Punkt X sich auf dem Rand von einem der drei Kreise befindet, bilden zwei der drei grünen Strecken ein rechtwinkliges Dreieck.

22.03.2020, 01:52

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke
Auf experimentellem Wege bin ich nun zu dem Ergebnis gelangt, dass die Mittelpunkte der Lösungskreise in meinem oben gewählten Beispiel ein Dreieck bilden, dessen Seitenmittelpunkte die Eckpunkte des gegebenen Dreiecks sind.
Die beiden Dreiecke sind daher zueinander ähnlich und haben denselben Schwerpunkt.

Das kann kein Zufall sein …

[attach]50812[/attach]

22.03.2020, 08:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ulrich
Das ist nicht die gestellte Aufgabe. Man soll aus den Strecken $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, bei dir sind es $\begin{align*} a,b_X,c_X \end{align*}$ .

@ klauss
Nein, gewiß nicht. Es ist kein Zufall …
Du mußt doch nur die Koordinaten des Mittelpunkts deiner Kreisgleichung richtig deuten.

22.03.2020, 13:38

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass es den Punkt X nicht für alle beliebigen Dreiecke A,B,C gibt?

22.03.2020, 13:40

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]50815[/attach]
Diese Konstruktion gewährleistet $\begin{eqnarray*} a_x=a \end{eqnarray*}$ . Die Punkte $\begin{eqnarray*} X,B,C \end{eqnarray*}$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ können beliebig ausgewählt sein, sofern $\begin{eqnarray*} C \ne X \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist als Mittelpunkt zwischen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ definiert. Auf der Kreisbahn um diesen Punkt ist B beliebig wählbar, sofern $\begin{eqnarray*} B \ne X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \ne C \end{eqnarray*}$ . Der Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt frei wählbar auf einer Kreisbahn um Punkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit einem Radius, der dem Abstand der Punkte $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ entspricht.

Zweifellos kann man jede Geometrie des blauen Dreiecks erzeugen. Leider bin ich mir nicht sicher, ob sich so auch jedes beliebige Dreieck A,B,C erzeugen läßt. Jetzt müßte ich nur noch schauen, wie ich nach freier Wahl des braunen Dreiecks mögliche Positionen von X bestimmen kann, sodaß das blaue Dreieck immer rechtwinklig bleibt.

22.03.2020, 14:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ quadrierer

Es gibt für jedes Dreieck unendlich viele mögliche Lagen von $\begin{align*} X \end{align*}$ , so daß aus $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden kann. Wie klauss bereits festgestellt hat, bilden die möglichen $\begin{align*} X \end{align*}$ Kreise, zwei bis drei an der Zahl. Das Bild von klauss zeigt dir für ein konkretes Dreieck diese Kreise.

@ Ulrich Ruhnau

Ich weiß nicht, was du da machst. In der Aufgabe ist jedenfalls das Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ vorgegeben und alle $\begin{align*} X \end{align*}$ , für die aus $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden kann, sind gesucht. Dein Kreis im ersten Bild, auf dem $\begin{align*} X \end{align*}$ liegt, kann unmöglich zur Lösung gehören. Wäre das so, dann wäre ja laut deiner Zeichnung auch $\begin{align*} X=B \end{align*}$ möglich. Das hieße $\begin{align*} a_B = c, \, b_B = 0, \, c_B = a \end{align*}$ . Aus den Strecken $\begin{align*} c,a,0 \end{align*}$ kann man aber kein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.

Bitte beachtet die Beiträge von klauss, der steht ja unmittelbar vorm Ziel.

22.03.2020, 14:56

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe, für Rechtecke und auch andere endlos viele Dreiecke gibt es den Punkt X, , aber nicht für jedes beliebig gegebene Dreieck. Soll die Lösung tatsächlich auch beliebige Dreiecke abdecken?

22.03.2020, 15:04

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Du mußt doch nur die Koordinaten des Mittelpunkts deiner Kreisgleichung richtig deuten.

Mit bloßem Auge hätt ichs jetzt nicht gesehen, aber wenn man einmal draufgekommen ist, kann man den Schwerpunkt des Mittelpunktsdreiecks ja bestätigen, da
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \left(\overrightarrow{M_{1} } +\overrightarrow{M_{2} } +\overrightarrow{M_{3} }\right) =\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\right) \end{eqnarray*}$

Was die Radien betrifft, verhalten diese sich im Beispiel wie 1:2:3. Ob das Zufall ist, habe ich nicht untersucht.

Zitat:

Original von Leopold
Bitte beachtet die Beiträge von klauss, der steht ja unmittelbar vorm Ziel.

Welche Fragen sind denn jetzt eigentlich noch offen?

22.03.2020, 16:17

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte die Aufgabe vor Jahren auch im Koordinatensystem gelöst. Der Hinweis von klauss mit dem Skalarprodukt hat mich aber auf die Idee gebracht, eine rein affine Lösung zu versuchen. Ich lege daher einen zweidimensionalen affinen Raum zugrunde. Das Skalarprodukt des zugeordneten Vektorraums schreibe ich multiplikativ.

Für die Seiten und Winkel des Dreiecks $\begin{align*} ABC \end{align*}$ verwende ich die Standardbezeichnungen der Elementargeometrie. Darüberhinaus seien $\begin{align*} A',B',C' \end{align*}$ die Bildpunkte von $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ bei Spiegelung an den Seitenmitten von $\begin{align*} BC,CA,AB \end{align*}$ (anders gesagt: man strecke vom Schwerpunkt aus mit dem Faktor -2).

Wir haben also den Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ und die Längen

$\begin{align*} a_X = \left| \overrightarrow{XA} \right| , \ b_X = \left| \overrightarrow{XB} \right| , \ c_X = \left| \overrightarrow{XC} \right| \end{align*}$

Ziel ist zu zeigen, daß $\begin{align*} A',B',C' \end{align*}$ die Mittelpunkte der Kreise sind, auf denen $\begin{align*} X \end{align*}$ liegt, wenn $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind. Es genügt, den Fall zu betrachten, daß $\begin{align*} a_X \end{align*}$ die Hypotenuse ist. Mutatis mutandis erhält man auch die beiden andern Fälle. Wir gehen daher von der Pythagoras-Gleichung

$\begin{align*} \overrightarrow{XB}^{\, 2} + \overrightarrow{XC}^{\, 2} = \overrightarrow{XA}^{\, 2} \end{align*}$

aus. Im Viereck $\begin{align*} ABA'C \end{align*}$ halbieren sich die Diagonalen. Es ist also ein Parallelogramm. Man erkennt:

$\begin{align*} \overrightarrow{XA'} = \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \end{align*}$

$\begin{align*} \overrightarrow{XA'} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{AC} \end{align*}$

$\begin{align*} \overrightarrow{XA'} = \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{AB} \end{align*}$

Man löst die drei Gleichungen nach $\begin{align*} \overrightarrow{XA}, \, \overrightarrow{XB}, \, \overrightarrow{XC} \end{align*}$ auf und setzt das in die Pythagoras-Gleichung ein:

$\begin{align*} \left( \overrightarrow{XA'} - \overrightarrow{AC} \right)^2 + \left( \overrightarrow{XA'} - \overrightarrow{AB} \right)^2 = \left( \overrightarrow{XA'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \right)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \overrightarrow{XA'}^{\, 2} + \overrightarrow{AC}^{\, 2} - 2 \, \overrightarrow{XA'} \, \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{XA'}^{\, 2} + \overrightarrow{AB}^{\, 2} - 2 \, \overrightarrow{XA'} \, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{XA'}^{\, 2} + \overrightarrow{AB}^{\, 2} + \overrightarrow{AC}^{\, 2} - 2 \, \overrightarrow{XA'} \, \overrightarrow{AB} - 2 \, \overrightarrow{XA'} \, \overrightarrow{AC} + 2 \, \overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \end{align*}$

Und das fällt in sich zusammen zu

$\begin{align*} \overrightarrow{XA'}^{\, 2} = 2 \, \overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \end{align*}$

Alle Rechnungen kann man auch rückwärts durchführen. Wegen der Zusammenhänge mit dem Cosinus-Satz kann man das Ergebnis auch so schreiben:

$\begin{align*} \overrightarrow{XA'}^{\, 2} = 2 bc \, \cos \alpha = -a^2 + b^2 + c^2 \end{align*}$

Diese Bedingung ist offenbar nicht erfüllbar, wenn $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ stumpf ist. Ist $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ ein rechter Winkel, so erfüllt nur $\begin{align*} A' \end{align*}$ selbst die Bedingung (das ist der von quadrierer betrachtete Fall). Ist dagegen $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ spitz, so ist der geometrische Ort der Punkte $\begin{align*} X \end{align*}$ ein Kreis um $\begin{align*} A' \end{align*}$ vom Radius $\begin{align*} r_a = \sqrt{-a^2 + b^2 + c^2} \end{align*}$ .

Ist also $\begin{align*} ABC \end{align*}$ spitzwinklig, so kann man genau dann aus $\begin{align*} a_X,b_X,c_X \end{align*}$ ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, wenn $\begin{align*} X \end{align*}$ auf einem der Kreise um $\begin{align*} A',B',C' \end{align*}$ vom jeweiligen Radius $\begin{align*} r_a,r_b,r_c \end{align*}$ liegt. Im rechtwinkligen Fall schrumpft einer der Kreise auf seinen Mittelpunkt zusammen, im stumpfwinkligen Fall verschwindet er.

Da ein nichtentartetes rechtwinkliges Dreieck nur einen rechten Winkel besitzen kann, liegen die drei Kreise im allgemeinen disjunkt. Ein Sonderfall ergibt sich, wenn $\begin{align*} ABC \end{align*}$ gleichschenklig ist, etwa $\begin{align*} b=c \end{align*}$ . Dann folgt

$\begin{align*} \overrightarrow{XB'}^{\, 2} = a^2 - b^2 + c^2 = a^2 \, , \ \ \overrightarrow{XC'}^{\, 2} = a^2 + b^2 - c^2 = a^2 \end{align*}$

Die Kreise um $\begin{align*} B' \end{align*}$ und $\begin{align*} C' \end{align*}$ haben dann $\begin{align*} r_b = r_c =a \end{align*}$ als Radius und berühren sich somit in $\begin{align*} A \end{align*}$ . Dann ist auch $\begin{align*} X=A \end{align*}$ ein Lösungspunkt, für ihn entartet das Dreieck aus $\begin{align*} a_A,b_A,c_A \end{align*}$ zu einem mit zwei 90°-Winkeln und einem 0°-Winkel. Die zwei Hypotenusen haben die Länge $\begin{align*} b_A=c_A=b=c \end{align*}$ , die Kathete ist zu $\begin{align*} a_A=0 \end{align*}$ zusammengeschrumpft.

22.03.2020, 17:12

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klauss
Welche Fragen sind denn jetzt eigentlich noch offen?

[attach]50818[/attach]
Ich habe die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \left(x-x_A \right)^{2}+ \left(y-y_A \right)^{2}+\left(x-x_B \right)^{2}+\left(y-y_B \right)^{2}=\left(x-x_C \right)^{2}+\left(y-y_C \right)^{2} \end{eqnarray*}$
mal in Geogebra eingegeben sowie auch die beiden entsprechenden Gleichungen bei zyklischer Vertauschung von A,B,C. Beim Verändern von den Punkten A,B,C ist mir aufgefallen, daß einer der Kreise immer dann verschwunden ist, wenn der gegenüberliegende Punkt einen stumpfen Winkel hat. Leider hat Leopold diese Erkenntnis schon vor mir gepostet.

22.03.2020, 17:17

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich liefere noch eine dynamische Zeichnung mit Euklid nach.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Beim Verändern von den Punkten A,B,C ist mir aufgefallen, daß einer der Kreise immer dann verschwunden ist, wenn der gegenüberliegende Punkt einen stumpfen Winkel hat. Leider hat Leopold diese Erkenntnis schon vor mir gepostet.

Ich dachte, das sei schon klar wegen des Beitrages von klauss:

Zitat:

Original von klauss
Vielleicht mag quadrierer die weitere Schlußfolgerung für negatives Skalarprodukt beisteuern ...

Ich habe hier den Eindruck, daß die Beiträge der andern recht oberflächlich gelesen werden (tue ich leider gelegentlich auch).

22.03.2020, 18:56

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold, aus deinem letztem Beitrag sind meine Fragen nur zum Teil beantwortet. Das liegt vielleicht auch daran, dass nicht ganz klar ist, zu welchem gezeichneten Bild die Bezeichnungen gehören.

Ich erkenne aus meiner gezeichneten Berechnung , dass für Dreiecke, bei denen alpha ein stumpfer Winkel ist, es keinen Punkt X als Punkt eines Halbrechtecks ABX gibt. Dies deckt sich mit deinen Einsichten. Bei den spitzen Winkeln komme ich zu folgender Einsicht. Nicht für alle möglichen Dreiecke rechts und links der Hypotenuse AB kann zum geforderten Punkt X gelangt werden. Den geforderten Punkt X gibt es nur, wenn die beiden sich gegenüber liegenden Punkte C und C2 auf einem Kreis mit Mittelpunkt X und einem Radius der Grösse AB liegen. Diesen Sachverhalt zeigt mein erdachtes und hierzu gezeichnetes System der geometrischen Zusammenhänge.

Leider streikt das Hochladen meiner Bild-Dateien wegen der 293 kb- Grenze. Hat da Jemand eine Idee?

22.03.2020, 19:02

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, verwende ein geeignetes Grafik-Programm, mit dem du die Bilder entsprechend verkleinern kannst.
Gut geht es mit der frei erhältlichen Anwendung IrfanView.

Überdies sollten deine Bilder KEINEN schwarzen Hintergrund haben, denn in der Voransicht erscheinen dann nur schwarze Rechtecke!

mY+

22.03.2020, 19:33

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ quadrierer
Ich verstehe leider gar nicht, was du mir mitteilen willst, habe aber den Eindruck, daß du eine ganz andere Aufgabe lösen willst als die gestellte.
Im übrigen ist das Problem durch klauss im wesentlichen gelöst worden. Ich selbst habe auch eine allgemeine Lösung mit Vektoren nachgeliefert. Da das Problem gelöst ist, kann es jetzt nur noch darum gehen, andere Lösungswege zu beschreiten und vorzustellen, vielleicht solche, die keine Methoden der Analytischen Geometrie verwenden. Oder man könnte interessante Sonderfälle betrachten oder die Fragestellung in der ein oder andern Hinsicht erweitern. Vielleicht schaust du dir einmal meine Zeichnung mit Euklid an, damit du besser verstehst, worum es eigentlich geht.

22.03.2020, 19:45

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von quadrierer
Leider streikt das Hochladen meiner Bild-Dateien wegen der 293 kb- Grenze. Hat da Jemand eine Idee?

Es gibt da genau zwei Möglichkeiten.

1. Man benutze Geogebra Version 5: Dabei können die kBytes über die DPI-Einstellung verändert werden.

2. Man benutze Geogebra Version 6 zusammen mit IranView: Beim Bild-exportieren wird man in Geogebra gefragt, ob man das Bild in die Zwischenablage kopieren möchte. Das sollte man tun, den IrfanView aufrufen und das Bild mit Strg+V hineinkopieren. Von dort läßt es sich z.B. als png-File speichern. Sollte es aber immer noch zu groß sein, empfehle ich das Bild unter Image->Resize/Resample... und Drücken auf half, OK zu halbieren.

Ich habe übrigens mit Geogebra durch Probieren gefunden, daß es für jeden spitzen Winkel des Dreiecks ABC einen Lösungskreis gibt. D.h. ist ein Winkel stumpf, so gibt es nur noch zwei Lösungskreise auf denen sich der Punkt X befinden kann.

22.03.2020, 20:05

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
@ quadrierer
Ich verstehe leider gar nicht, was du mir mitteilen willst, habe aber den Eindruck, daß du eine ganz andere Aufgabe lösen willst als die gestellte.

Hallo Leopold, so wie quadrierer ist es mir auch gegangen. Das Problem war die Formulierung des Rätsels. Heißt es nicht, daß das Rätsel für alle da sein soll? Besser wäre vielleicht die folgende Formulierung gewesen:

Zitat:

Nachdem meine Integralaufgabe neulich nicht der große Renner war, versuche ich es jetzt mit ein wenig Geometrie.

A,B,C seien die Ecken eines Dreiecks in der euklidischen Ebene. Für einen Punkt X der Ebene seien aX,bX,cX die Abstände zu A,B,C.
Angenommen, man bildet in einer weiteren Zeichnung ein Dreieck mit den Seiten aX,bX,cX. Welche geometrischen Muster beschreiben alle X (auf der ersten Zeichnung), die das zuletzt genannte Dreieck (auf der zweiten Zeichnung) rechtwinklig machen?

Problematisch an der Formulierung

Zitat:

ist nämlich:
1. Was ist ein geometrischer Ort?
2. Ist eine Länge eher als Abstand oder als Strecke zu interpretieren? Wenn man die Länge als Strecke interpretiert, kommt noch der Neigungswinkel hinzu. Dann würden zwei Strecken schon ausreichen, das Dreieck zu konstruieren.

Im Übrigen ist es immer besser eine schöne Zeichnung mitzuliefern und zwar möglichst nicht als Zip, sondern lieber als png.

22.03.2020, 20:23

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich habe übrigens mit Geogebra durch Probieren gefunden, daß es für jeden spitzen Winkel des Dreiecks ABC einen Lösungskreis gibt. D.h. ist ein Winkel stumpf, so gibt es nur noch zwei Lösungskreise auf denen sich der Punkt X befinden kann.

Also eine Bestätigung des Skalarprodukt-Ergebnisses. Der Lösungskreis fehlt, wenn in der gewählten Konstellation der Punkte A, B, C der stumpfe Winkel bei C liegt.

22.03.2020, 20:31

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Tips.
Ich habe erst mal die Ausfüllfarben weggelassen. Eure Tips werde ich in Ruhe ausprobieren.
Ich hoffe , dass es nun mit den Bildern klappt.
[attach]50822[/attach]
[attach]50824[/attach]

22.03.2020, 20:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ulrich Ruhnau

Meine Formulierung enthält alles, was man braucht. Längen oder Abstände sind nichtnegative Zahlen, gegebenenfalls mit Einheit. Sonst nichts. Was ein geometrischer Ort ist, lernt man in der Mittelstufe eines Gymnasiums. Jedenfalls früher. Und da tue ich dich auch mal hin. Im übrigen kann man Begriffe, an die man sich nicht mehr erinnert, auch nachschlagen: geometrischer Ort. Und man sollte nicht anderswo Schuldige für eigenes Unvermögen suchen. Oder wie heißt es: Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.

22.03.2020, 21:21

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Quadrierer,

Wenn Deine Zeichnungen nur einen Punkt X explizit enthalten, dann hast Du die Aufgabe noch nicht richtig verstanden. Wir wollen ein Linienmuster sehen, die von allen zulässigen Punkten X gebildet werden. Klaus hat eindrucksvoll berechnet, daß es sich dabei um Kreise handelt, deren Darstellung ich von Dir erwarten würde, wenn Du Grafiken postest.

Kreis und Ellipsengleichungen lassen sich in Geogebra ohne weiteres eingeben und darstellen. Für unsere Aufgabe muß man zuerst ein Vieleck definieren, daß die Punkte A,B,C festlegt.
Dann gebe man drei Kreisgleichungen an, und färbe die Kreise unterschiedlich.
Dabei kann man z.B. die Koordinaten des Punktes A mit x(A) und mit y(A) abrufen.

Sind die Punkte $\begin{eqnarray*} A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C), X(x,y) \end{eqnarray*}$ vorgegeben, dann lautet eine Kreisgleichung z.B:

gl1: $\begin{eqnarray*} \left(x-x_A \right)^{2}+ \left(y-y_A \right)^{2}+\left(x-x_B \right)^{2}+\left(y-y_B \right)^{2}=\left(x-x_C \right)^{2}+\left(y-y_C \right)^{2} \end{eqnarray*}$

[attach]50826[/attach]

22.03.2020, 21:49

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Was ein geometrischer Ort ist, lernt man in der Mittelstufe eines Gymnasiums. Jedenfalls früher. Und da tue ich dich auch mal hin.

Ich war von der 9. bis 10. Klasse auf der Mittelstufe eines niedersächsischen Gymnasiums mit einem Mathematiklehrer aus Kolumbien, der nicht akzentfrei deutsch sprach. Ich kann mich nicht erinnern, daß dieser uns erklärt hätte, was ein geometrischer Ort ist. Auch hat mich benachteiligt, daß an dieser Schule keine Vektorrechnung gelehrt wurde.

Tut mir leid Leopold, wenn ich ein bischen konfrontativ bin, aber wenn ich bestehende Probleme nicht aus meiner Sicht anspräche, dann würde ich nichts dazulernen.

23.03.2020, 17:28

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ulrich,

es würde mir helfen die Aufgabe zu verstehen, wenn du in deinem Bild oder dem Bild von Klaus, das offenbar Lösungsmengen als Kreiskurven zeigt, einmal ein Lösungsrechteck einzeichnen könntest, welches die geforderte Eigenschaft bei den Abständen erfüllt. Leider kann ich Leopolds EUKLID-Lösungsbild auf meinem Mac-Rechner nicht sehen.

Mein Lösungsansatz geht von einer gegebenen Dreieck-Seite AB aus, die jede Drehung von Null bis 360° einnehmen kann. Ausgehend davon werden dann mögliche Dreieckpunkte C gesucht, welch die Lösungsbedingung erfüllen. Die Menge dieser Lösungspunkte C werden dann als Ortskurve Kreis dargestellt, dessen Mittelpunkt der Punkt X ist. Die Lage von X auf dem Kreis mit Durchmesser AB hängt von der Drehung der Dreieck-Seite AB ab. Mein gezeichnetes Zusammenhang-System zeigt, es sind unendlich viele Dreiecke ABC möglich, welche das geforderte Kriterium erfüllen. Es zeigt aber auch, es gibt gleichfalls unendlich viele Dreiecke ABC welche das geforderte Kriterium nicht erfüllen, indem Punkt C nicht auf besagter roter Kreiskurve liegt.[attach]50834[/attach][attach]50835[/attach][attach]50836[/attach]

23.03.2020, 18:11

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du gehst das falsch an. Vorgegeben ist das Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ . Gesucht ist der Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ . Bei dir dagegen scheint mir der Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ vorgegeben, und du läßt dann $\begin{align*} C \end{align*}$ auf einem Kreis um $\begin{align*} X \end{align*}$ wandern, welchem auch immer.

Mach einmal Folgendes.

1. Nimm ein weißes Stück Papier, halte einen gespitzten Bleistift oder gespitzte Farbstifte bereit sowie ein Lineal und einen Zirkel.

2. Zeichne ein Dreieck ABC, fürs erste mal spitzwinklig. Das ist nun da und wird nicht mehr geändert. Glaub mir, nichts mehr daran schrauben!

3. Zeichne irgendwo einen Punkt X, vielleicht außerhalb des Dreiecks.

4. Zeichne die Strecken von X nach A, von X nach B und von X nach C.

5. Konstruiere aus den drei Strecken aus 4. irgendwo auf dem Papier ein Dreieck, ganz wie du das in der Schule gelernt hast. (Sollte man daraus unglücklicherweise kein Dreieck konstruieren können, dann liegt das daran, daß es zwei Strecken gibt, deren Summe kleiner als die dritte Strecke ist. Dann beginne ab 3. noch einmal neu mit einem andern Punkt X, für den man das Dreieck in 5. konstruieren kann.)

6. Miß die Winkel im Dreieck aus 5. Sollte einer der drei Winkel ein rechter sein, dann hast du einen Punkt X, wie er gesucht ist, gefunden. Das wäre aber schon ein großer Zufall.

Es ist nun die Aufgabe, solche Punkte X zu finden, daß das in 5. konstruierte Dreieck einen rechten Winkel besitzt.

Nichts anderes ist in dieser Aufgabe gefragt.

23.03.2020, 18:31

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo quadrierer,

offenbar bist Du immer noch nicht im Bilde, was in der (inzwischen von Leopold nicht minder eindrucksvoll gelösten) Aufgabe eigentlich gesucht war, obwohl mit meinem allerersten Beitrag eigentlich das Wesentliche incl. Beispiel genannt war.
Es geht nicht um Lösungsdreiecke oder –rechtecke oder gedrehte Dreiecksseiten.
Nimm doch einfach meine drei Beispiel-Punkte A, B, C und ein paar beliebige Punkte P auf meiner zuerst angegebenen Lösungs-Kreisgleichung. Berechne für diese Punkte P jeweils die Abstandsquadrate zu A, B und C. Dann setze diese Abstandsquadrate in der ebenfalls von mir genannten Reihenfolge in die Pythagorasgleichung ein.
Es sollte mich sehr wundern, wenn Dir bei Deinem Intimverhältnis zu Zahlen und Konstruktionen die Stimmigkeit dann nicht auffallen sollte. Solchenfalls fahre fort mit der Ochsentour nach Leopold ... Augenzwinkern

24.03.2020, 23:38

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold schreibt:
"Es gibt für jedes Dreieck unendlich viele mögliche Lagen von X, so daß aus aX,bX,cX ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden kann."

Meine gezeichnete Berechnung zeigt aber bei einem spitzwinkligen Dreieck nur maximal 6 X-Punkte und bei einem stumpfwinkligen Dreieck nur 4 X-Punkte, die ein Rechteck ergeben.
Ortskurven mit unendlich vielen Lagen von X halte ich für unmöglich, solange ich nicht das Gegenteil in einem Bild nachvollziehen kann.

25.03.2020, 02:29

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo quadrierer,
Hier sind die Ortskurven wie gewünscht zur Ansicht.
[attach]50844[/attach][attach]50845[/attach]
Vorgegeben ist das braune Dreieck A,B,C. Leider hat die Geogebra-Datei eine für Matheboard unerlaubte Dateiendung und läßt sich deshalb nicht anhängen. Aber wenn man sie hätte, dann könnte man den Punkt X mit der Maus auf dem lila Kreis bewegen, und damit die Längen a',b',c' verändern. Abgetragen sind diese Längen auf dem gelben Dreieck, das sich dann mitbewegt. Trotz Bewegung bleibt das gelbe Dreieck immer rechtwinklig im Punkt A'. Würde sich der Punkt X auf dem hellblauen Kreis bewegen, dann hätten wir im Punkt B' einen rechten Winkel. Mit X auf dem grünen Kreis wäre der rechte Winkel in Punkt C'.

25.03.2020, 08:41

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Leider hat die Geogebra-Datei eine für Matheboard unerlaubte Dateiendung und läßt sich deshalb nicht anhängen.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Im Übrigen ist es immer besser eine schöne Zeichnung mitzuliefern und zwar möglichst nicht als Zip, sondern lieber als png.

Tja, vielleicht kommst du ja noch von alleine drauf ...

@ quadrierer

Hier mein Bild (zum Vergrößern anklicken). Ich verwende die Originalbezeichnungen meiner Aufgabe und die erweiterten Bezeichnungen aus meinem Beweis.

[attach]50846[/attach]

Los geht es mit dem gelb schraffierten Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ .

Die Eckpunkte $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ werden an den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten gespiegelt. So erhält man $\begin{align*} A',B',C' \end{align*}$ . Das sind die Mittelpunkte der Lösungskreise (bei Ulrich Ruhnau haben diese drei Bezeichner die Bedeutung von $\begin{align*} A_1,B_1,C_1 \end{align*}$ bei mir). Die Radien sind $\begin{align*} r_a,r_b,r_c \end{align*}$ wie angegeben. Die gestrichelten Geraden treffen sich im Schwerpunkt des Dreiecks.

Wenn sich der Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ auf einem der Kreise bewegt, dann ist das aus den Abständen zu $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ konstruierte rosa Dreieck $\begin{align*} A_1B_1C_1 \end{align*}$ rechtwinklig. Wenn sich $\begin{align*} X \end{align*}$ auf dem Kreis um $\begin{align*} A' \end{align*}$ bewegt, liegt der rechte Winkel bei $\begin{align*} A_1 \end{align*}$ . Und ganz entsprechend bei den andern Kreisen.

25.03.2020, 09:29

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Leider hat die Geogebra-Datei eine für Matheboard unerlaubte Dateiendung und läßt sich deshalb nicht anhängen.

Tja, vielleicht kommst du ja noch von alleine drauf ...

[attach]50847[/attach]
Hier ist mein gezipptes Geogebra-File zum Herunterladen für andere.

25.03.2020, 23:21

quadrierer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,
dank deines Bildes habe ich die Aufgabe nun doch noch verstanden und konnte sie auch gezeichnet berechnen.

Überrascht hat mich, dass meine zuerst gefundenen X-Punkte weiterhin Bestand haben und zwar unabhängig und zusätzlich zu den X-Punkten auf den Ortskurven. Beim spitzwinkligen Dreieck sind es 6 und beim stumpfwinkligen Dreieck sind es vier X-Punkte. Wer sie sucht, wird sie leicht finden.

Überraschend ist auch, dass bei allen möglichen Dreieck-Konstellationen eines Rechtecks, wenn der 90°-Punkt im Zugmodus bewegt wird, die sich bewegende Ortskurve "Kreis" immer durch einen spitzwinkligen Rechteck-Punkt geht. Für diesen gesetzmässigen Zusammenhang ist die Radiusgrösse der Ortskurve direkt anschaulich erkennbar festgelegt.

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Geometrischer Ort für rechtwinklige Dreiecke

Verwandte Themen