Invertierbarkeit |
| 22.03.2020, 11:32 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Invertierbarkeit kann mir jemand erklären wie ich bei der a) um die Invertierbarkeit zu zeigen ? |
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| 22.03.2020, 11:39 | seinfeld | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nutze die Monotonie. |
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| 22.03.2020, 12:53 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Inwieweit soll ich die nutzen ? Hast du noch paar Tipps? |
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| 22.03.2020, 12:58 | seinfeld | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Machs doch einfach mal. Zeige, dass der Graph zu f(x)=ln(x) streng monoton steigend ist. Wie man das zeigt, das weißt du bestimmt. Es ist vielleicht eine halbe Zeile an Aufwand. |
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| 22.03.2020, 13:21 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ehrlich gesagt wird uns in den Vorlesungen kaum was erklärt . Wie zeigt man das überhaupt ? Wie ist da die Vorgehensweise ? Dann könnte ich es dir gerne zeigen 
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| 22.03.2020, 13:39 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der musterlösung wurde zu erstmal abgeleitet : f'(x) = 1/x Aber wie muss ich jetzt weiter vorgehen ? Muss es ja auch verstehen |
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| 22.03.2020, 14:11 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1/x>0, also ln(x) streng monoton wachsend, also invertierbar. (Schulwissen) |
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| 22.03.2020, 14:15 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danach haben die irgendwie den lim gegen 0 und unendlich gehen lassen ? Warum? |
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| 22.03.2020, 15:21 | seinfeld | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und dass die Ableitung einer Funktion die Steigung des Graphen von f angibt, das hast du nicht gewusst ? Wenn ein Graph einer Funktion die ganze Zeit steigt, dann ist seine Ableitung stets positiv. 1/x ist für alle Elemente des Definitionsbereichs positiv, also ist der Graph von f streng monoton steigend. Dadurch weiß man schon einmal, dass f injektiv ist - anschaulich bedeutet das hier, dass es keine Punkte gibt, die nebeneinander liegen. Angenommen es gäbe wie bei f(x)=x² einen y-Wert, z.B. y=9, der zwei Urbilder hätte, also zwei x-Werte die auf y=9 abgebildet werden, dann wäre die Funktion zumindest für den Definitionsbereich D=IR nicht injektiv. Hier hätte y=9 ja die beiden Urbilder x=3 oder x=-3. Damit kommt man vom Bildbereich nicht mehr eindeutig zurück, was die Umkehrbarkeit zunichte macht. Nun muss aber auch noch gelten, dass man von jedem y-Wert der Zielmenge IR wieder eindeutig zurück in den Definitionsbereich kommt. Um also zu beweisen, dass auch wirklich jede reelle Zahl einmal erreicht wird, kann man die entsprechenden Grenzwerte der Ränder des Definitionsbereichs untersuchen, hier also für x gegen Null bzw. unendlich. Du hast die Musterlösung ja scheinbar eh vorliegen. Kannst du nun deuten, was die beiden Grenzwerte besagen ? |
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| 22.03.2020, 15:41 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
lim k gegen 0 = -unendlich lim x gegen unendlich = unendlich Ich verstehe nicht wie die auf die Ergebnisse kommen ? Warum ist 1/0 = -unendlich ? Den 2 Fall verstehe ich auch nicht 
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| 22.03.2020, 15:46 | seinfeld | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht nicht um das Randverhalten von f '(x) sondern um das Randverhalten von f(x). |
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| 22.03.2020, 15:54 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ln(0) ist ja nicht -unendlich oder ? Wobei ln(unendlich) wahrscheinlich gegen unendlich geht . |
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| 22.03.2020, 16:18 | seinfeld | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie der Graph zu f(x)=ln(x) aussieht, das hast du bestimmt vor dir liegen. Falls nicht ist es sicher nicht schwer den Graphen irgendwo im Internet zu finden. sagt dir woher der Graph kommt sagt dir wohin der Graph geht |
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| 22.03.2020, 16:56 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist ja das ln(0) nicht definiert ist. Nimmt man einfach bei der Grenzwert Betrachtung einfach an das es vom - Bereich herkommt? |
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| 22.03.2020, 17:08 | seinfeld | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
heisst ja auch gar nicht ln(0) sondern man überlegt sich was passiert, wenn sich x immer mehr der Null nähert. Und genau dabei beobachtet man, dass die y-Werte beliebig klein werden, man sagt auch "gegen minus unendlich streben". Damit kommt der Graph also von unten und er geht (zwar vergleichsweise langsam, aber trotzdem) nach oben und strebt damit gegen plus unendlich. Somit muss dann tatsächlich jeder y-Wert aus der Zielmenge IR, also alle reellen Zahlen, einmal erreicht bzw. getroffen werden. |
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| 22.03.2020, 18:19 | 4Ever33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke |
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