Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen

22.03.2020, 14:50

manuel459

Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen

Hi,

ich schaue mir gerade Binomialtests an. Nehmen wir an, die Hypothesen lauten $\begin{eqnarray*} H_0:p\leq p_0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} p_0\in[0;1] \end{eqnarray*}$ . Dann wählt man den kritischen Bereich bekanntlich als $\begin{eqnarray*} K=[\text{min}\left(\{k\in\mathbb{R}\;|\;\mathbb{P}(T\geq k\;|\;p=p_0)\leq \alpha\}\right),\infty) \end{eqnarray*}$ . Ich möchte nun beweisen, dass die Bedingung, dass der Fehler 1. Art kleiner oder gleich der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist, erfüllt ist:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(T\in K)=\mathbb{P}(T\in [\text{min}\left(\{k\in\mathbb{R}\;|\;\mathbb{P}(T\geq k\;|\;p=p_0)\leq \alpha\}\right),\infty))=\\=\mathbb{P}(T\geq \text{min}\left(\{k\in\mathbb{R}\;|\;\mathbb{P}(T\geq k\;|\;p=p_0)\leq \alpha\}\right)= \end{eqnarray*}$

Ich komme da nicht weiter. Kann mir jemand helfen? Das Problem ist, dass das Intervall K auf Basis dessen, dass T binomialverteilt mit n und $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ ist, gewählt wird, T in diesem Fall jedoch binomialverteilt mit n und $\begin{eqnarray*} p\leq p_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Im Falle der zweiseitigen Testung hab ichs geschafft:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(T\in K)=\mathbb{P}(T\in [\text{min}\left(\{k\in\mathbb{R}\;|\;\mathbb{P}(T\geq k\;|\;p=p_0)\leq \alpha/2\}\right),\infty))+\\+ \mathbb{P}(T\in (-\infty,\text{max}\left(\{k\in\mathbb{R}\;|\;\mathbb{P}(T\leq k\;|\;p=p_0)\leq \alpha/2\}\right)])=\\=F(\text{min}\left(\{k\in\mathbb{R}\;|\;\mathbb{P}(T\geq k\;|\;p=p_0)\leq \alpha/2\}\right))+\\ +1-F(\text{max}\left(\{k\in\mathbb{R}\;|\;\mathbb{P}(T\leq k\;|\;p=p_0)\leq \alpha/2\}\right)) \leq \frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=\alpha. \end{eqnarray*}$

T ist dabei immer die Teststatistik, also bei einer Stichprobe $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_1+X_2+...+X_n \end{eqnarray*}$
Danke und LG

22.03.2020, 18:04

Huggy

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen

Zitat:

Original von manuel459
Ich komme da nicht weiter. Kann mir jemand helfen? Das Problem ist, dass das Intervall K auf Basis dessen, dass T binomialverteilt mit n und $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ ist, gewählt wird, T in diesem Fall jedoch binomialverteilt mit n und $\begin{eqnarray*} p\leq p_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du für den einseitigen Test zeigen, dass, wenn der Fehler 1. Art bei $\begin{eqnarray*} p=p_0 \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich der vorgegeben Irrtumswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist, er das auch bei $\begin{eqnarray*} p<p_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das lässt sich z. B. über den Zusammenhang der Binomialverteilung mit der Betaverteilung zeigen.

22.03.2020, 18:15

manuel459

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Ja genau!

Könntest du mir da einen Link zu Literatur geben? Habe noch nie etwas von der Beta-Funktion gehört.

Direkteren Weg gibt es wohl keinen oder?

Danke und LG

22.03.2020, 18:36

Huggy

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen

Zitat:

Original von manuel459
Könntest du mir da einen Link zu Literatur geben? Habe noch nie etwas von der Beta-Funktion gehört.

Siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialve..._Betaverteilung

Betrachte die letzte Formel. Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ist durch ein Integral ausgedrückt, bei dem $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nur in der oberen Integralgrenze auftaucht. Daran sieht man, wie sich die Verteilungsfunktion bzw. ihr Komplement bei festem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ändert.

In dem Link ist auch angegeben, wie man die Beziehung zur Betaverteilung beweist. Die Beziehung wird oft bei der exakten Berechnung von Konfidenzintervallen der Binomialverteilung benutzt.

Zitat:

Direkteren Weg gibt es wohl keinen oder?

Den wird es sicher geben. Mir ist aber auf die Schnelle nichts eingefallen.

24.03.2020, 12:58

manuel459

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Hey,

ich habe nach langer Suche noch etwas einfacheres gefunden (glaube ich). Da wird die Poisson-Binomial-Verteilung verwendet.

Ich verstehe noch nicht ganz ob mir das helfen könnte (siehe Bild).
Das ganze habe ich hier raus.
Könntest du dir das eventuell ansehen?

Danke und LG

24.03.2020, 13:38

Huggy

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen

Zitat:

Original von manuel459
ich habe nach langer Suche noch etwas einfacheres gefunden (glaube ich). Da wird die Poisson-Binomial-Verteilung verwendet.

Das ist ein sehr schöner direkter Beweis.

Zitat:

Ich verstehe noch nicht ganz ob mir das helfen könnte (siehe Bild).

Wo hapert es denn? Das Bild enthält doch den gesuchten Beweis.

24.03.2020, 13:45

manuel459

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Hey, Danke fürs anschauen.

Mein Problem liegt darin, dass ich ja alles ident verteilte $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ betrachte. Darf ich dann einfach für alle $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ schreiben? Der Punkt ist ja, dass man durch "wegnahme" eines $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ (bei X') eine ZV erhält, deren EW kleiner als der von X ist - insbesondere ist X dann auch nicht mehr Binomialverteilt - das "n" ist dann auch nicht dasselbe.

Wenn ich nun aber direkt p schreibe für alle $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ , so habe ich nur den Fall betrachtet wo X' einen um $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ kleineren EW hat. Damit würde der BEweis ja noch nicht die Bedingung $\begin{eqnarray*} p\leq p_0 \end{eqnarray*}$ erfüllen, die ich verlange?

24.03.2020, 14:04

Huggy

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Okay, ich verstehe dein Problem.

Wir beginnen mit einer Binomialverteilung. Das ist eine spezielle Poisson-Binomialverteilung, bei $\begin{eqnarray*} p_i= p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Nun ändern wir bei dieser speziellen P-B-Verteilung genau eines der $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ auf eine Wert $\begin{eqnarray*} p' \end{eqnarray*}$ . Dann zeigt der Beweis im Bild, dass sich die P-B-Verteilung monoton mit $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ändert. Nach der Änderung von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ haben wir wieder eine P-B-Verteilung, bei der aber nicht mehr alle $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ gleich sind. Bei dieser neuen P-B-Verteilung ändern wir ein $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j \neq i \end{eqnarray*}$ auf den Wert $\begin{eqnarray*} p' \end{eqnarray*}$ . Auch dafür gilt der Beweis im Bild. Wir haben wieder eine monotone Änderung in dieselbe Richtung wie bei der vorigen Änderung. Das kann man nacheinander für alle $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ machen und hat zum Schluss wieder eine Binomialverteilung mit einem geänderten $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

24.03.2020, 14:26

manuel459

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Wow! Elegant!

Damit ists klar.

Vielen lieben Dank!!! smile

24.03.2020, 22:43

manuel459

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Jetzt muss ich doch noch einmal einhaken. Eben war es mir noch glasklar, aber jetzt nicht mehr.

Aus welchem Grund kann ich bei dem Beweis im Bild aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X\geq k) \geq \mathbb{P}(X'\geq k) \end{eqnarray*}$ schließen, dass (m.a.W.) die Verteilungsfunktion von X monoton in p_i ist?

Im Beweis im Bild wird ja gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X\geq k) \geq \mathbb{P}(X'\geq k) \end{eqnarray*}$ gilt, wobei ja X' nur (n-1) "X" enthält. Das heißt, dieses sukzessive Abändern von p_0 zu p ist damit nicht abgedeckt oder?

Irgendwie habe ich gerade einen Knoten im Hirn.

25.03.2020, 07:43

Huggy

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Mit der Gleichung

$\begin{eqnarray*} P(X \geq k)=p_i P(X'=k-1)+P(X' \geq k) \end{eqnarray*}$

aus dem Bild wird nicht ausgenutzt, dass $\begin{eqnarray*} P(X \geq k) \geq P(X' \geq k) \end{eqnarray*}$ , was auch richtig ist. Es wird ausgenutzt, dass daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \frac d {p_i} P(X \geq k)=P(X'=k-1) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} P(X'=k-1) \end{eqnarray*}$ nicht negativ ist, folgt die Monotonie von $\begin{eqnarray*} P(X \geq k \end{eqnarray*}$ ) als Funktion von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ . Tatsächlich ist sogar $\begin{eqnarray*} P(X'=k-1)>0 \end{eqnarray*}$ mit Ausnahme des Falls, dass genügend viele der in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ' eingehenden $\begin{eqnarray*} p_j=0 \end{eqnarray*}$ sind.

25.03.2020, 09:44

manuel459

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Achja, okay.

Also schließt man durch Ableiten auf die Monotonie. Das darf man, wenn die abgeleitete Funktion stetig auf einem abgeschlossenen Intervall ist und auf diesem Intervall (in offener Form) differenzierbar.

Dass muss ich dann wohl noch begründen.

Vielen Dank!

25.03.2020, 10:11

Huggy

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen

Zitat:

Original von manuel459
Dass muss ich dann wohl noch begründen.

Da ist doch nichts zu begründen. Die in dem Bild abgeleitete Gleichung zeigt doch, dass $\begin{eqnarray*} P(X \geq k) \end{eqnarray*}$ eine lineare Funktion von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ist und die ist differenzierbar. $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ hängt ja nicht von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ab. So ist es ja gerade konstruiert.

25.03.2020, 10:28

manuel459

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RE: Binomialtest - Fehler 1. Art prüfen
Genau so hätte ich es begründet Big Laugh

Danke nochmals! smile

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