Dimension des Kerns von f bestimmen

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Saftyyy Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension des Kerns von f bestimmen
Meine Frage:
Sei f:Q hoch 5 -> Q³ eine lineare Abbildung.
(1) Welche Dimension kann der Kern von f haben?
(2) Wie kann man an dieser Dimension erkennen, ob f surjektiv ist?

Meine Ideen:
Bei (1) bin ich ziemlich aufgeschmissen. Ich gehe zwar davon aus, dass Kern(f) größer gleich 2 sein muss, da von 5 nach 3 quasi 2 Dimensionen "wegfallen", aber ich kann es nicht mathematisch begründen.
Bei (2) gilt ja, dass f genau dann surjektiv ist, wenn dim((Bild)f)=dim(Q³)=3 ist, also wenn dim((Kern)f)=2.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension des Kerns von f bestimmen
Zitat:
Original von Saftyyy
Bei (1) bin ich ziemlich aufgeschmissen. Ich gehe zwar davon aus, dass Kern(f) größer gleich 2 sein muss, da von 5 nach 3 quasi 2 Dimensionen "wegfallen", aber ich kann es nicht mathematisch begründen.

Da gibt es doch den netten Dimensionssatz: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Bild(f))

Daraus kannst du ablesen, welche Dimensionen der Kern haben kann. smile
Saftyyy1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort, ich habe irgendwas bei meiner Registrierung verschlampt, deshalb jetzt nochmal neu als Saftyyy1.
Wenn ich den Dimensionssatz benutze, bekomme ich 3=dim(Kern(f))+dim(Bild(f)). Bedeutet das, wenn ich das jeweils umstelle, dim(Bild(f))=1, 2 oder 3 ist und dim(Kern(f))=0, 1 oder 2 dementsprechend?

Und ist meine Lösung zu (2) soweit richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, es hapert an der Dimension des Urbildraums. Und dim(Bild(f)) kann auch 0 sein.
Saftyyy1 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also könnten sowohl dim(Kern(f)) als auch dim(Bild(f)) 0, 1, 2 oder 3 sein. Aber was hat der Urbildraum damit zu tun?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension des Kerns von f bestimmen
In dieser netten Gleichung ist V der Urbildraum.
Zitat:
Original von klarsoweit
Da gibt es doch den netten Dimensionssatz: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Bild(f))


In der Tat kann dim(Bild(f)) = 0, 1, 2 oder 3 sein. Aus der obigen Gleichung ergeben sich dann die möglichen Dimensionen für den Kern.
 
 
Saftyyy1 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso danke. Dementsprechend müsste also 5=dim(Kern(f))+dim(Bild(f)) sein. Da dim(Bild(f))= 0, 1, 2 oder 3 ist, kann dim(Kern(f))=5, 4, 3 oder 2 sein. Ist dim(Kern(f))=2, so ist dim(Bild(f))=3=dim(W) und dann wäre f surjektiv.

Vielen Danke für deine schnelle Hilfe!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so paßt es. smile
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