Dimension des Kerns von f bestimmen |
26.03.2020, 11:24 | Saftyyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dimension des Kerns von f bestimmen Sei f:Q hoch 5 -> Q³ eine lineare Abbildung. (1) Welche Dimension kann der Kern von f haben? (2) Wie kann man an dieser Dimension erkennen, ob f surjektiv ist? Meine Ideen: Bei (1) bin ich ziemlich aufgeschmissen. Ich gehe zwar davon aus, dass Kern(f) größer gleich 2 sein muss, da von 5 nach 3 quasi 2 Dimensionen "wegfallen", aber ich kann es nicht mathematisch begründen. Bei (2) gilt ja, dass f genau dann surjektiv ist, wenn dim((Bild)f)=dim(Q³)=3 ist, also wenn dim((Kern)f)=2. |
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26.03.2020, 11:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Dimension des Kerns von f bestimmen
Da gibt es doch den netten Dimensionssatz: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Bild(f)) Daraus kannst du ablesen, welche Dimensionen der Kern haben kann. |
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26.03.2020, 12:23 | Saftyyy1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Antwort, ich habe irgendwas bei meiner Registrierung verschlampt, deshalb jetzt nochmal neu als Saftyyy1. Wenn ich den Dimensionssatz benutze, bekomme ich 3=dim(Kern(f))+dim(Bild(f)). Bedeutet das, wenn ich das jeweils umstelle, dim(Bild(f))=1, 2 oder 3 ist und dim(Kern(f))=0, 1 oder 2 dementsprechend? Und ist meine Lösung zu (2) soweit richtig? |
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26.03.2020, 12:30 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun ja, es hapert an der Dimension des Urbildraums. Und dim(Bild(f)) kann auch 0 sein. |
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26.03.2020, 12:45 | Saftyyy1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, also könnten sowohl dim(Kern(f)) als auch dim(Bild(f)) 0, 1, 2 oder 3 sein. Aber was hat der Urbildraum damit zu tun? |
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26.03.2020, 13:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Dimension des Kerns von f bestimmen In dieser netten Gleichung ist V der Urbildraum.
In der Tat kann dim(Bild(f)) = 0, 1, 2 oder 3 sein. Aus der obigen Gleichung ergeben sich dann die möglichen Dimensionen für den Kern. |
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26.03.2020, 13:34 | Saftyyy1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso danke. Dementsprechend müsste also 5=dim(Kern(f))+dim(Bild(f)) sein. Da dim(Bild(f))= 0, 1, 2 oder 3 ist, kann dim(Kern(f))=5, 4, 3 oder 2 sein. Ist dim(Kern(f))=2, so ist dim(Bild(f))=3=dim(W) und dann wäre f surjektiv. Vielen Danke für deine schnelle Hilfe! |
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26.03.2020, 13:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so paßt es. |
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