Teilbarkeit

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SilkeK Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit
Meine Frage:
Kann mir bitte jemand auf die Sprünge bei folgender Aufgabe helfen:

Ein Teiler einer natürlichen Zahl heißt echter Teiler, wenn er weder gleich 1, noch gleich der Zahl ist.
Finde alle natürlichen Zahlen, bei denen sich der größte echte Teiler um 3 von der dritten Potenz des kleinsten echten Teilers unterscheidet.

Danke Silke.

Meine Ideen:
Ich habe bisher vergeblich versucht eine allgemeine Formel zu finden,
leider habe ich außer Probieren keine Ansätze. unglücklich
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Falls t der kleinste echte Teiler ist und T der größte echt Teiler, dann gilt ja offenbar:

T = t³ + 3

oder

T = t³ - 3

Jetzt kannst du ja einfach mal rumspielen und für t eine beliebige Zahl größer 1 einsetzen und T ausrechnen. Wie muss eine Zahl n aussehen, damit t und T echte Teiler sind? Am Ende erkennst du bestimmt eine Gesetzmäßigkeit.

Viele Grüße,
Nils
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Naja auf jeden Fall ist für jede Zahl n , welche das Produkt aus t und t-3 darstellt die Teilbarkeit gegeben, oder?

Aber gibt es da nicht unendlich viele Zahlen?

Ich verstehe das irgendwie nicht.

Silke
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast (Silke)
Naja auf jeden Fall ist für jede Zahl n , welche das Produkt aus t und t-3 darstellt die Teilbarkeit gegeben, oder?


Nicht ganz. Die Zahl soll ja durch t und T teilbar sein (und nicht t-3).


Zitat:
Original von Gast (Silke)
Aber gibt es da nicht unendlich viele Zahlen?


Klar, die Lösungsmenge ist unendlich groß. In der Aufgabe geht es aber darum eine Darstellung für diese Menge zu finden.
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nur auf oder . Beachte, dass nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung ist, denn muss ja immer noch der kleinste echte Teiler von sein.
Hinweis: Der kleinste echte Teiler einer natürlichen Zahl, so er existiert, bzw. der zweitkleinste Teiler jeder natürlichen Zahl außer 1, hat eine besondere Eigenschaft. Außerdem kann man die natürlichen Zahlen in gerade und ungerade einteilen.
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dangalf
Ich komme nur auf oder . Beachte, dass nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung ist, denn muss ja immer noch der kleinste echte Teiler von sein.


Stimmt, das habe ich übersehen. Das schränkt die Wahl von t natürlich ein.
 
 
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn man meinen letzten Hinweis auf statt auf anwendet geht's noch einfacher als ich mir ursprünglich überlegt habe smile
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt so argumentiert: t kann keine zusammengesetzte Zahl sein, da es sonst einen kleineren Teiler gäbe. Außerdem kann t nicht ungerade sein, da sonst n=t*(t³ +/- 3) gerade und somit 2 der kleinste Teiler wäre, was ein Widerspruch ist. Ergo muss t eine gerade Primzahl sein, d.h. t = 2.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
---
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit
Also ist .
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank an alle, die mir geholfen haben ...

Ich versuche jetzt die Schritte oben nachzuvollziehen, mal sehen wie weit ich komme.

Evtl. melde ich mich noch einmal.

Danke Silke
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte den selben Gedankengang wie Nils formuliert hat.
Nachher ist mir aufgefallen, dass man die Primzahleigenschaft von gar nicht braucht,
denn für alle ist eine gerade Zahl, und der zweitkleinste positive Teiler jeder geraden Zahl ist 2.
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