Grundlegende Isomorphie

26.03.2020, 14:56	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundlegende Isomorphie Ich habe ein ganz kurze Frage: Nach Definition des kartesischen Produkts ist der $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ doch nichts anderes als folgende Menge von Abbildungen $\begin{eqnarray} \{f: \{1,...,n\}\to \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ . Für eine beliebige $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -elementige Menge $\begin{eqnarray} P=\{x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^P \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} \{f: \{x_1,...,x_n\}\to \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ . Somit sind $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^P \end{eqnarray}$ isomorph?
26.03.2020, 16:04	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt darauf an, was du mit isomorph meinst. Die einfachste Isomorphie ist die Gleichmächtigkeit. Wenn Gleichmächtigkeit gemeint ist, dann offenbar ja.
02.04.2020, 13:07	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Ich hab den "klassichen" Isomporphismus gemeint aus der linearen Algebra, also einen bijektiven Homomorphismus zwischen Vektorräumen. $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^P \end{eqnarray}$ sind ja beide Vektorräume. Sagen wir $\begin{eqnarray} P=\{p_1,...,p_n\} \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^P: (f:\{1,...,n\}\to\mathbb{R}, i\mapsto x_i)\mapsto (g:\{p_1,...,p_n\}\to\mathbb{R}, p_i\mapsto x_i) \end{eqnarray}$ ist (kann man nachrechnen) ein bijektiver Homomorphismus, also ein Isomorphismus. Siehst du das auch so?
02.04.2020, 17:08	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Antwort Auch wenn wohl das Richtige gemeint ist, erscheint mir das doch etwas kurz. Deine Notation ist eine Erweiterung der mathematischen Standardnotation durch erhöhtes Pattern Matching. Du versuchst zu notieren: $\begin{eqnarray} \phi(f)=g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i=f(i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_i=g(p_i) \end{eqnarray}$ . Man kann dieses Gleichungssystem wie folgt auflösen. Zunächst ist $\begin{eqnarray} f(i)=g(p_i) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f=g\circ p \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ bijektiv ist, hat man $\begin{eqnarray} g=f\circ p^{-1} \end{eqnarray}$ . Also soll $\begin{eqnarray} \phi(f):=f\circ p^{-1} \end{eqnarray}$ sein. Das stimmt nun, man kann die so definierte Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ als linearen Isomorphismus nachweisen. Lange Antwort Ein Koordinatenvektor $\begin{eqnarray} v\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v:=(v_1,\ldots,v_n) \end{eqnarray}$ ist charakterisiert durch seine Projektionen $\begin{eqnarray} \pi_k(v):=v_k \end{eqnarray}$ . Einsichtig ist, dass $\begin{eqnarray} \pi_k\colon \mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray}$ eine Linearform ist. Betrachte nun $\begin{eqnarray} F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^{\{1,\ldots,n\}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(v)(k):=\pi_k(v) \end{eqnarray}$ . Diese Abbildung $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist linear. Additivität: $\begin{eqnarray} F(v+w)(k) = \pi_k(v+w) = \pi_k(v)+\pi_k(w) = F(v)(k)+F(w)(k) = (F(v)+F(w))(k), \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} F(v+w) = F(v)+F(w). \end{eqnarray}$ Die Homogenität ist analog. Auch ist $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ injektiv, denn $\begin{eqnarray} F(v)=F(w) \iff (\forall k\colon \pi_k(v)=\pi_k(w))\iff v=w. \end{eqnarray}$ Außerdem ist $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ surjektiv. Dazu muss es für jede Funktion $\begin{eqnarray} f\in\mathbb R^{\{1,\ldots,n\}} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} v\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ geben, so dass $\begin{eqnarray} f=F(v) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \forall k\colon f(k)=\pi_k(v) \end{eqnarray}$ . Da bleibt nur $\begin{eqnarray} v:=(f(1),\ldots,f(n)) \end{eqnarray}$ als einzige Wahl. Demnach sind $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R^{\{1,\ldots,n\}} \end{eqnarray}$ isomorphe Vektorräume. Betrachten wir nun eine beliebige Mengen $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|P\|=n \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} p\colon \{1,\ldots,n\}\to P \end{eqnarray}$ eine Aufzählung der Elemente von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , und wir schreiben $\begin{eqnarray} p(k)=p_k \end{eqnarray}$ . Betrachte nun die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi\colon\mathbb R^P\to\mathbb R^{\{1,\ldots,n\}},\quad \varphi(f):=f\circ p. \end{eqnarray}$ Bemerkung: Man bezeichnet $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ auch als den Kompositionsoperator bezüglich $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und schreibt $\begin{eqnarray} \varphi=C_p \end{eqnarray}$ . Wir rechnen nach, dass $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ linear ist. Additivität: $\begin{eqnarray} \varphi(f+g)(k) = (f+g)(p_k) = f(p_k)+g(p_k) = \varphi(f)(k)+\varphi(g)(k) = (\varphi(f)+\varphi(g))(k), \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \varphi(f+g) = \varphi(f)+\varphi(g). \end{eqnarray}$ Homogenität analog. Die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist injektiv, denn $\begin{eqnarray} \varphi(f)=\varphi(g) \iff (\forall k\colon f(p_k)=g(p_k))\iff (\forall x\colon f(x)=g(x))\iff f=g. \end{eqnarray}$ Zur Surjektivität. Zu jeder Funktion $\begin{eqnarray} g\in\mathbb R^{\{1,\ldots,n\}} \end{eqnarray}$ muss es eine Funktion $\begin{eqnarray} f\in\mathbb R^P \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} g=\varphi(f) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} g=f\circ p \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} f:=g\circ p^{-1} \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} p^{-1} \end{eqnarray}$ gibt es, weil $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ bijektiv ist. Demnach sind $\begin{eqnarray} \mathbb R^P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R^{\{1,\ldots,n\}} \end{eqnarray}$ isomorphe Vektorräume.
27.04.2020, 15:15	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, da braucht es korrekterweise noch den Umweg mit einer "Nummerierung" $\begin{eqnarray} p^{-1} \end{eqnarray}$ . Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

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