m-tes Moment

27.03.2020, 09:20	Elli.	Auf diesen Beitrag antworten »
m-tes Moment Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Definition zum m-ten Moment: Sei X: ? -> IR eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert E (X^m) heißt m-tes Moment von X. $\begin{eqnarray} L^{m} (P) := {X: ? -> \mathbb R / das m-te Moment von X existiert} \end{eqnarray}$ Was genau bedeutet das L^m (P)? Also wie kann ich mir das vorstellen? LG Elli. Meine Ideen: -
27.03.2020, 11:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Raum $\begin{eqnarray} L^m(P) \end{eqnarray}$ umfasst alle Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , deren $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -tes Moment existiert, d.h., für die $\begin{eqnarray} \int\limits_{\Omega} \left\| X(\omega)\right\|^m ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray}$ endlich ist. Für stetige Zufallsgrößen mit Dichte $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ bedeutet das $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \|x\|^m\cdot f_X(x) ~ \dd x < \infty \end{eqnarray}$ , für diskrete Zufallsgrößen entsprechend $\begin{eqnarray} \sum_k \|k\|^m\cdot P(X=k) <\infty \end{eqnarray}$ (wobei hier über die $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ summiert wird, die $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ überhaupt nur annehmen kann). Stetiges Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f_X(x) = \begin{cases} \frac{r}{x^{r+1}} &\;\mbox{für}\;x\geq 1\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_1^{\infty} \frac{r}{x^{r+1}} ~ \dd x = \left[ -\frac{1}{x^r} \right]_1^{\infty} = 1 \end{eqnarray}$ ist das tatsächlich eine gültige Dichte. Für das $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -te Moment gilt nun $\begin{eqnarray} E(X^m) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^m f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_1^{\infty} \frac{r}{x^{r+1-m}} ~ \dd x = \left[ -\frac{r}{(r-m)x^{r-m}} \right]_1^{\infty} = \frac{r}{r-m} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m < r \end{eqnarray}$ , sonst $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Das bedeutet dann $\begin{eqnarray} X\in L^m(P) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m< r \end{eqnarray}$ , jedoch $\begin{eqnarray} X\not\in L^m(P) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m\geq r \end{eqnarray}$ .

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