Modulare Arithmetik

27.03.2020, 13:07

Angel1991

Modulare Arithmetik

Meine Frage:
a) 23*19-2*8+10*37 (mod 5)
b) 5x + 3 = 7 (mod 7)
c) 3x = 4 (mod 7)
d) 4x = 5 (mod 6)

Ich würde mich freuen wenn mir jemand sagen kann, ob meine Rechnungen richtig sind oder was daran falsch ist.

Meine Ideen:
a) 23*19-2*8*37= 791 (mod 5) => 1 (mod 5)
b) 5*(-1) +7*1= 1 => x=1 (mod 7) ggT(5,7)= 1
c) -4x/4 = 4/4 (mod 7) => x=1 (mod 7)
d) 4x = 5 (mod 6) => x = 1 (mod 6)

27.03.2020, 13:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Angel1991
a) 23*19-2*8*37= 791 (mod 5)

Bei mir ist $\begin{eqnarray*} 23*19-2*8*37=-155 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \equiv 0\bmod 5 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Angel1991
b) 5*(-1) +7*1= 1

Jetzt wird es wirklich langsam grotesk, was du da rechnest: Offenbar ist $\begin{eqnarray*} 5*(-1) +7*1 = -5+7 = 2\neq 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Angel1991
c) -4x/4 = 4/4 (mod 7) => x=1 (mod 7)

Machen wir die Probe: Erfüllt $\begin{eqnarray*} x=1\bmod 7 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3x\equiv 4\bmod 7 \end{eqnarray*}$ ? Wegen $\begin{eqnarray*} 3\cdot 1 = 3\not\equiv 4\bmod 7 \end{eqnarray*}$ offenbar nicht. unglücklich

Zitat:

Original von Angel1991
d) 4x = 5 (mod 6) => x = 1 (mod 6)

Probe $\begin{eqnarray*} 4\cdot 1 = 4\not\equiv 5\bmod 6 \end{eqnarray*}$ schlägt auch hier fehl. unglücklich

D.h., du scheinst eher zu raten als zu rechnen.

Richtig wäre

b) $\begin{eqnarray*} 5*3 + 7\cdot (-2) = 1 \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist $\begin{eqnarray*} 5^{-1}\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ . Damit folgt aus $\begin{eqnarray*} 5x\equiv 4\bmod 7 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x\equiv 3\cdot 4 = 12\equiv 5\bmod 7 \end{eqnarray*}$ , d.h. Lösung $\begin{eqnarray*} 5\bmod 7 \end{eqnarray*}$ .

c) Siehe b), denn aus $\begin{eqnarray*} 5^{-1}\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ folgt auch unmittelbar $\begin{eqnarray*} 3^{-1}\equiv 5\bmod 7 \end{eqnarray*}$ . Somit folgt aus $\begin{eqnarray*} 3x\equiv 4\bmod 7 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x\equiv 5\cdot 4=20\equiv 6\bmod 7 \end{eqnarray*}$ .

d) Hier ist $\begin{eqnarray*} ggT(4,6)=2 \end{eqnarray*}$ KEIN Teiler von 5, damit hat diese Kongruenz GAR KEINE Lösung.

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