Partielle und totale Ableitungen

27.03.2020, 17:02

maxxam

Partielle und totale Ableitungen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage bezüglich partieller und totaler Ableitungen.
wenn ich mir die Funktion f(x,y) = x+y mit y(x) = x^2 definiere,
ergibt die partielle Ableitung nach x dann 1 oder 1+2x?

Meine Ideen:
Wenn ich mir eine Hilfsfunktion definiere: g(x)=f(x,y(x))= x+x^2 und diese
partiell nach x ableite ergibt das 1+2x. Dies müsste ja dann mit der partiellen Ableitung von f(x,y(x)) übereinstimmen. (Mach es für meine Frage einen Unterschied, ob ich f(x,y) oder f(x,y(x)) schreibe?)

Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen
LG

27.03.2020, 20:47

mYthos

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Bei f(x,y) sind die Variablen a priori nicht abhängig voneinander.
Im Falle der Unabhängigkeit ist natürlich die Ableitung von x+y nach y gleich 1

Nachdem y hier seinerseits eine Funktion von x ist, liegt hier eine verkettete Funktion vor.

Mit $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ ist f: = $\begin{eqnarray*} x + x^2 \end{eqnarray*}$ und daher nur noch eine Funktion mit einer Variablen.

mY+

27.03.2020, 21:07

Ulrich Ruhnau

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RE: Partielle und totale Ableitungen

Zitat:

verbessertes Original von maxxam
wenn ich mir die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x+y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ definiere, ergibt die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1+2x \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f(x,y(x))}{\dd x}= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\dd y}{\dd x}=1+1\cdot 2x=1+2x \end{eqnarray*}$

27.03.2020, 21:10

mYthos

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Der zweite Summand in der Ableitung nach x ergibt sich nach der Kettenregel.
Deswegen steht ja auch in meinem vorigen Beitrag: " ... liegt hier eine verkettete Funktion vor."

mY+

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