Kubische Splines

28.03.2020, 02:38

kubi31

Kubische Splines

Liebes Matheboard
Hat jemand tipps von euch wie die h0 = h1 =1 raus bekommen ?

Und wie die genau diese Matrix auftstellen ?
Ich verstehe es gerade überhaupt nicht ?

28.03.2020, 10:41

Helferlein

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Meistens ist h der Abstand der Stellen und da diese bei -1, 0 und 1 liegen, ist 0-(-1)=1-0=1

28.03.2020, 11:53

kubi20

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Siehe bei wiki:

28.03.2020, 12:45

kubi31

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Könnt ihr mir auch noch ein wenig genauer erklären wie man auf diese Matrix kommt ?
Finde das echt schwer zu verstehen auch mit diesem wiki Ausdruck geschockt

28.03.2020, 13:26

Steffen Bühler

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Recht gut erklärt ist es auf dieser Seite. Gib da mal die drei Wertepaare ein.

Auch unser Workshop könnte weiterhelfen.

Melde Dich, wenn dann immer noch was unklar ist.

Viele Grüße
Steffen

28.03.2020, 13:55

kubi31

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Kannst du nicht irgendwie an der Aufgabe erklären wie das berechnet wurde ?

28.03.2020, 15:48

kubi31

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Wie sollte man z.B den ersten Wert in der Matrix berechnen ?
Vielleicht kann ich dann die nächsten selbst probieren Big Laugh

Nur damit ich verstehe wie man das berechnet

28.03.2020, 15:59

Steffen Bühler

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Du musst doch nur stur einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \mu_0 & \lambda_0 & 0 \\ \frac{h_0}6 & \frac{h_0+h_1}3 & \frac{h_1}6 \\ 0 & \lambda_2 & \mu_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M_0 \\ M_1 \\ M_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_0 \\ \frac {y_2-y_1}{h_1}-\frac {y_1-y_0}{h_0} \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Alles ist gegeben.

28.03.2020, 16:52

kubi31

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ist u2 =y2 ?

was ist lambda in unserem Fall?

u0 = y 0?

28.03.2020, 17:08

Steffen Bühler

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Aber das steht doch alles im von Dir angegebenen Wiki-Artikel:

$\begin{eqnarray*} \lambda _{0}=\lambda _{n}=b_{0}=b_{n}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu _{0}=\mu _{n}=1 \end{eqnarray*}$

28.03.2020, 22:23

kubi31

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Ich war es übrigens net mit dem wiki artikel.

Ist es immer 1 oder wie ?

28.03.2020, 23:29

hawe

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Wenn's ums Verständnis geht, dann würde ich einfach zwei Polynome aufstellen

p(1,x)=a13 x^3 + a12 x^2 + a11 x + a10
p(2,x)=a23 x^3 + a22 x^2 + a21 x + a20

Es sind 8 Parameter aij (i=1..2, j=0..3) zu bestimmen, macht eine Matrix für 8 Gleichungen

Ränder p1,p2: p''(1,-1) =0, p''(2,1)=0
Stützstellen p1: p(1,-1)=1, p(1,0)=2
Stützstellen p2: p(2,0)=2, p(2,1)=1
Steigung p1-p2: p'(1,0)=p'(2,0)
Krümmung p1-p2: p''(1,0)=p''(2,0)

Das sind 8 Gleichungen in Matrix schreiben und lösen.

Sollte sein:
If(x) = {(-1) / 2 x³ - 3 / 2 x² + 2 : x ≤0, 1 / 2 x³ - 3 / 2 x² + 2 : x > 0)

Das wäre die Grundaufgabe - die dann wie im Wiki beschrieben optimiert wird ...

29.03.2020, 09:29

Steffen Bühler

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Mir ist nicht völlig klar, was Du mit „immer 1 oder wie“ genau meinst.
Setz halt
$\begin{eqnarray*} \lambda _{0}=\lambda _{2}=b_{0}=b_{2}=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \mu _{0}=\mu _{2}=1 \end{eqnarray*}$
in die Terme ein, dann kommt genau das raus, was in der Lösung steht.

Und falls Dir die Momentenmethode zu schwierig ist, kannst Du auch die im Workshop beschriebene einfachere Variante verwenden, einfach Deine drei Punkte einsetzen. Der eifrige Kollege hat es ja bereits wiederholt.

29.03.2020, 12:49

kubi31

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Mir ist nicht völlig klar, was Du mit „immer 1 oder wie“ genau meinst.
Setz halt
$\begin{eqnarray*} \lambda _{0}=\lambda _{2}=b_{0}=b_{2}=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \mu _{0}=\mu _{2}=1 \end{eqnarray*}$
in die Terme ein, dann kommt genau das raus, was in der Lösung steht.

Und falls Dir die Momentenmethode zu schwierig ist, kannst Du auch die im Workshop beschriebene einfachere Variante verwenden, einfach Deine drei Punkte einsetzen. Der eifrige Kollege hat es ja bereits wiederholt.

Sind diese Werte immer so ? Oder nur in unserer Aufgabe ?

29.03.2020, 14:03

Steffen Bühler

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Für natürliche kubische Splines ist das erste und letzte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und b immer Null, das erste und letzte $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ immer Eins.
Steht alles im Wiki-Artikel: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Spline-I...Randbedingungen
Ich wiederhole mich, aber egal: lesen, lesen, lesen.

29.03.2020, 16:53

kubi31

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Wie soll ich druch die Matrix das LGS aufstellen ?
Wollte dann versuchen diese M0,M1,M2 berechnen Big Laugh

29.03.2020, 17:02

kubi31

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Wie soll ich jetzt genau diese c0 ,c1 ,d0 ,d1 berechnen ?

Verstehe das gerade nicht ?

29.03.2020, 17:09

Helferlein

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Auch das steht in dem Wiki-Artikel, der hier schon mehrfach zitiert wurde:
[attach]50880[/attach]

29.03.2020, 17:39

kubi31

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Ah jetzt habe ich es hinbekommen .
jetzt scheitere ich daran s0(x) und s1(x) aufzuschreiben ?
Wie kommt man darauf ?

29.03.2020, 17:56

Steffen Bühler

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Auch das steht in dem Wiki-Artikel, der hier schon mehrfach zitiert wurde:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{6}\left({\frac {(x_{i+1}-x)^{3}}{h_{i}}}\cdot M_{i}+{\frac {(x-x_{i})^{3}}{h_{i}}}\cdot M_{i+1}\right)+c_{i}\cdot (x-x_{i})+d_{i} \end{eqnarray*}$

29.03.2020, 18:25

kubi31

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Ich habe mal jetzt die Gleichung für s0 aufgestellt ?
Passt irgendwie nicht so ganz mit der Lösung
böse

29.03.2020, 18:33

Steffen Bühler

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Du bist nah dran! Den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 16 \end{eqnarray*}$ hast Du vergessen und bei $\begin{eqnarray*} c_i \cdot (x-x_i) \end{eqnarray*}$ hast Du noch einen Vorzeichenfehler drin.

29.03.2020, 18:41

kubi31

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x0 = -1

also habe ich :

x - ((-x0)) = x+1

Oder falsch angewendet ?

29.03.2020, 19:19

kubi31

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s1(x) scheine ich auch ein anderes Ergebnis zu bekommen ?

Was sind denn x0,x1 und x2 für Werte ?
Vielleicht setze ich die falsch ein?

29.03.2020, 21:01

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von kubi31
Was sind denn x0,x1 und x2 für Werte ?

Falls das ernstgemeint war: -1, 0 und 1.

29.03.2020, 22:09

kubi31

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Aber dann kommt es doch zur Vorzeichen Änderung ?
-1 wird eingesetzt zu +1 Oder nicht ?

30.03.2020, 08:49

Steffen Bühler

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Mag sein. Der Wert -1 ist aber für $\begin{eqnarray*} s_1(x) \end{eqnarray*}$ nicht relevant.

Noch einmal zum Mitmeißeln:

$\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to s_1(x)= \frac {1}{6}\left({\frac {(x_{1+1}-x)^{3}}{h_{1}}}\cdot M_{1}+{\frac {(x-x_{1})^{3}}{h_{1}}}\cdot M_{1+1}\right)+c_{1}\cdot (x-x_{1})+d_{1} =\dots \end{eqnarray*}$

30.03.2020, 12:29

kubi31

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Ok danke .
Also nicht beachten

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