Alternative Herleitung gesucht

28.03.2020, 23:22

Ulrich Ruhnau

Alternative Herleitung gesucht

Läßt sich die aus einem Übungsbuch stammende Formel

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k+1}=\sum\limits_{m=k}^{n} \binom{m}{k} \end{eqnarray*}$

auch anders herleiten als durch vollständige Induktion?

29.03.2020, 00:38

Luftikus

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RE: alternative Herleitung gesucht
Edit (mY+): Vollzitat entfernt.

Man nutze das bekannte "Additionstheorem"
$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}=\binom{n}{k} + \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k+1} =...= \sum\limits_{m=k}^{n} \binom{m}{k} + \binom{k}{k+1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \binom{k}{k+1}=0 \end{eqnarray*}$

29.03.2020, 07:29

Ulrich Ruhnau

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RE: alternative Herleitung gesucht
Das sieht zwar immer noch wie vollständige Induktion aus, aber Danke! smile

29.03.2020, 09:53

Luftikus

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RE: alternative Herleitung gesucht

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Das sieht zwar immer noch wie vollständige Induktion aus, aber Danke! smile

Nein, die linke Seite der Gleichung wird einfach rekursiv verwendet.
Diese Gleichung selbst kann man einfach durch hinschreiben beweisen.

29.03.2020, 10:08

Dopap

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RE: alternative Herleitung gesucht

Zitat:

Original von Luftikus

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Das sieht zwar immer noch wie vollständige Induktion aus, aber Danke! smile

Nein, die linke Seite der Gleichung wird einfach rekursiv verwendet.
Diese Gleichung selbst kann man einfach durch hinschreiben beweisen.

Statt Vollzitat im direkten Anschluss kann man auch Antwort klicken.
Schlechte Angewohnheit. Gründe liegen auf der Hand...

29.03.2020, 10:55

Luftikus

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Okay Meister! Habe verstanden. Wink

PS: du bist ja aber auch nicht besser Big Laugh

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