Für welches c€R eindeutig lösbar?

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dohx Auf diesen Beitrag antworten »
Für welches c€R eindeutig lösbar?
Hallo ihr Lieben,

könnt ihr mir sagen wie ich herausfinden kann für welches c€R das LGS eindeutig lösbar ist? Und ich soll auch ein Lösungsraum angeben was ist da so richtig damit gemeint ich kann mir da gerade nichts vorstellen.

Als Beispiel die Matrix:

(1 2 3 | 0
2 3 1 | -3
3 1 c | 3)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welches c€R eindeutig lösbar?
Die Frage ist eigentlich, welches Vorwissen du mitbringst, z.B.:

Weißt du, was Invertierbarkeit einer Matrix ist und womit man das prüfen kann?
Kennst du den Gauß-Algorithmus zum Lösen eines LGS?

Der Lösungsraum (Überraschung) ist gleich der Menge aller Lösungen. smile
dohx Auf diesen Beitrag antworten »

Gauß ja, Invertierbarkeit auch. Aber die Aufgabe war eigentlich unter den "einfachen" wofür nur ein paar Minuten eingeplant waren. P.S. dein Spruch ist sehr geil Big Laugh !
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nutzen wir mal die Invertierbarkeit. Wann ist denn die Matrix invertierbar?
dohx Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht habe ich meine Matrix zu schwer gewählt, mein Kommilitone meinte was von Determinante. Ich finde die Invertierbarkeit zu hoch gegriffen. Vielleicht gehen wir mal von:

( 1 2 3 | 0
2 3 1 | 0
1 2 c | 0 ) aus.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Als einen "paar Minuten Test" könnte man schnell berechnen, für welche c die Determinante der Matrix gleich Null ist.

mY+
 
 
dohx Auf diesen Beitrag antworten »

Det = 0 bedeutet für mich:

eine Zeile/Spalte nur aus Nullen besteht
zwei Zeilen/Spalten gleich sind
eine Zeile/Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen/Spalten ist

Dann kann es doch auch sein das bei Det = 0, eine Nullzeile exestiert und damit das LGS nicht mehr eindeutig lösbar ist?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

A priori - also so lange der Wert für c nicht festgelegt ist - bestehen für diese Angabe weder Nullzeilen noch eine offensichtliche lineare Abhängigkeit.
Also ist einfach der Wert der Determinante als Ausdruck in c zu berechnen. Das geht relativ leicht, entweder direkt (La Place) oder zuerst mit Umformung zu



c folgt dann aus Nullsetzen.

Man kann auch die letzten 2 Zeilen der Determinante betrachten und folgern, für welches c diese beiden linear abhängig sein werden (3.Z. = 4 x 1.Z.) ...

mY+
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welches c€R eindeutig lösbar?
Zitat:
verbessertes Original von dohx
... wie ich herausfinden kann, für welches das LGS eindeutig lösbar ist.
Als Beispiel die Matrix:

(1 2 3 | 0
2 3 1 | -3
3 1 c | 3)

Die Gleichung
kann gelöst werden, wenn z.B. von links die inverse Matrix auf beiden Seiten der Gleichung dran multipliziert wird.
Die Matrix ist jedoch nur genau dann invertierter, wenn sie regulär ist, d.h. ihre Determinante nicht verschwindet.

Bitte rechne alles noch einmal nach!
systemi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn z.B. von links die inverse Matrix auf beiden Seiten der Gleichung dran multipliziert wird.


Das stimmt zwar generell (sofern es eine eindeutige Lösung gibt), aber warum sollte man das hier tun ? verwirrt

Zitat:
Bitte rechne alles noch einmal nach!


Das würde ich auch empfehlen, denn die Determinante stimmt nicht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich Ruhnau
Nachrechnen solltest zuerst du tun, denn der Wert der Determinante ist NICHT -c
--------
Übrigens bemerke ich - nicht amüsiert - dass du öfters meinen (und eventuell auch anderer Helfer) Beiträgen hinterher deine Statements nachschießt, die sich nicht wesentlich von dem unterscheiden, was zuvor schon geschrieben wurde.

In diesem Fall hier hätte ich noch gerne eine Reaktion des Threadstellers abgewartet, denn die Frage wurde bisher ohnehin ausführlich behandelt. War es deiner Ansicht nach doch noch zu wenig?

mY+
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Übrigens bemerke ich - nicht amüsiert - dass du öfters meinen (und eventuell auch anderer Helfer) Beiträgen hinterher deine Statements nachschießt, die sich nicht wesentlich von dem unterscheiden, was zuvor schon geschrieben wurde.

Mythos sei doch bitte konstruktiv! Matheboard hat die Schwäche, daß vollständige Lösungen hier verboten sind. Also werden alle hier verpflichtet, den Nagel nie genau auf den Kopf zu treffen. Deshalb ist die vermeintliche Lösung des Problems Ansichtssache. Du zum Beispiel hättest mir angeben können, wo mein Fehler genau liegt. Als ich meinen letzten Beitrag postete, hatte ich mithilfe von Matlab schon bemerkt, daß an meiner Determinantenberechnung etwas nicht stimmt. Dann hatte ich gehofft, daß ich am nächsten Tag meinen Fehler schnell ausmerzen kann. Im Übrigen unterscheidet sich meine Determinante von Deiner. Warum das so ist, hast Du auch nicht klar gemacht. Dann machen wir also einen auf Forum Kloppe und drehen uns im Kreis. Tanzen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Determinante ist das Ergebnis zweier Zeilenumformungen der ursprünglichen Determinante.
[3. Z. - (1.Z + 2.Z) und dann 2. Z. - 2 * 1.Z.] Augenzwinkern
------
Du hast mit Sarrus gerechnet. Ich dachte, ich muss dir dort nicht den Fehler aufzeigen, diesen findest du doch sicher selber.
Nun, es sind 2 Fehler drinnen, richtig ist
~~
Und wieder einmal scheint sich der Fragesteller nicht mehr für das Thema zu interessieren - wie leider schon oft gehabt.

mY+
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welches c€R eindeutig lösbar?
Danke Mythos! Ups Also ist:

Daraus folgt: Es muß sein, damit das Problem lösbar ist.

Ich hatte tags zuvor nicht geschlafen und war wie vernagelt. Erstaunt2 Ich merke daran, daß ich mich trotz Coronakrise pro Tag eine Stunde bewegen sollte, sonst arbeitet weder mein Kreislauf richtig, noch daß ich einschlafen kann.
oktaeder20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Matheboard hat die Schwäche, daß vollständige Lösungen hier verboten sind.


Mag sein, dass du das als Schwäche siehst.
Wenn dir das so missfällt, es gibt ja genügend andere Matheforen, wo du frei drauf los posten kannst, was du möchtest.

Ich persönlich halte gerade das neben der beispiellosen Übersicht für eine fundamentale Stärke und Alleinstellungsmerkmal zu sagen "Nein, wir kauen dir die Aufgabe nicht einfach vor, sondern möchten die Lösung gerne mit dir zusammen erarbeiten".

Ich weiß nicht, ob du dir das Boardprinzip mal durchgelesen hast.
Da steht das ja auch nochmal genau drin.


Zitat:
Und wieder einmal scheint sich der Fragesteller nicht mehr für das Thema zu interessieren - wie leider schon oft gehabt.


Ob man das nach einem Tag schon sagen kann ? verwirrt

Was ich verstehen könnte wäre, dass es dem Fragesteller mit all den verschiedenen Postern zu unübersichtlich wurde.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von oktaeder20
Mag sein, dass du das als Schwäche siehst.
Wenn dir das so missfällt, es gibt ja genügend andere Matheforen, wo du frei drauf los posten kannst, was du möchtest.

Das Problem, was ich damit ansprechen möchte, ist, daß die Helfer teilweise dazu erzogen werden, sich unklar auszudrücken. Wenn gute Helfer sich also an diese Regeln halten, sind sie für die Hilfesuchenden etwas schwerer von denen zu unterscheiden, die keine Ahnung haben und nur so tun als ob. Wer mit der Lösung winken kann hat die beste Glaubwürdigkeit.

Ich will ja nicht dafür plädieren, daß man die Regeln über den Haufen wirft, aber das hält mich nicht davon ab, gegen die schädlichen Auswirkungen aufzubegeren. Wenn ich helfe, möchte ich zielgerichtet sein und so gut den Nagel auf den Kopf treffen wie es geht. Und anderen Helfern empfehle ich das Gleiche.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematik ist schon seit Urzeiten ein freies Spiel, in dem jeder Mitdenken und Mitraten und selbst etwas ausprobieren darf. Nur wenn wir den FragestellerInnen die Chance geben, wenigstens Teile der Aufgaben selbst zu lösen, haben sie Erfolgserlebnisse und Lerneffekte. Vollständige Lösungen sind langweilig und helfen niemandem.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte ja als erster in diesem Thread geantwortet und versucht, den Fragesteller auf den (oder einen möglichen) Lösungsweg zu schubsen. Leider haben sich dann andere reingedrängt. Viele Köche verderben den Brei. Deswegen habe ich mich aus diesem Thread rausgenommen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wohin klarsoweit schubsen wollte. Ich finde jedenfalls, daß Schulwissen ausreicht, um diese Aufgabe zu lösen. Irgendwas mit Determinanten, schön und gut, aber nötig ist's nicht. Nachdem die Aufgabe zum großen Teil gelöst ist, darf ich meine Lösung präsentieren.

Der Parameter steht rechts unten in der Ecke. Wenn man den Gauß-Algorithmus von oben nach unten so anwendet, daß eine obere Dreiecksmatrix entsteht, passiert dem nicht viel. Die Aufgabe ist extra so gemacht, daß sich schöne Zahlen ergeben.

1. Man addiert das (-2)-fache der ersten zur zweiten und das (-3)-fache der ersten zur dritten Zeile. Die neue zweite Zeile wird mit -1 durchmultipliziert (und hat jetzt dankenswerterweise eine 1 in der Hauptdiagonalen).

2. Man addiert das 5-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile.

Und man ist fertig. Die Variablen mögen heißen. Die dritte Zeile lautet jetzt:



Ist , so erhält man eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem ist unlösbar.
Ist dagegen , kann man das System von unten nach oben eindeutig auflösen. Und wenn man will, kann man auch die Lösung in Abhängigkeit von gleich bestimmen. Weil auf der Hauptdiagonalen der oberen beiden Zeilen jetzt nur 1 steht, kommen nicht einmal Brüche ins Spiel.

Ohne Determinante gelöst und auch noch gleich die Lösung berechnet. Der Aufwand ist nicht größer als über die Determinante, egal, wie man diese berechnet. Die Rechenfehleranfälligkeit dürfte auf beiden Wegen dieselbe sein.
oktaeder20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
daß die Helfer teilweise dazu erzogen werden, sich unklar auszudrücken


Was hat "jemanden schrittweise zur Lösung zu führen" mit "unklar ausdrücken" zu tun ? verwirrt

Der in diesem Forum gedachte Umgang geht halt in die Richtung, dass man im Dialog durch Tipps oder ggf. Weiterverfolgen des Lösungsansatzes vom Fragesteller, den selbigen dazu bringt, die Aufgabe möglichst eigenständig zu lösen (wie oben erwähnt eben ohne direkt alles vorzukauen und damit das Erfolgserlebnis zu nehmen).

Das bedeutet, dass man eben auch Geduld mitbringen muss und vielleicht z.B. erstmal fragt, wo genau jemand nicht weiterkommt (falls dies im Eingangsbeitrag noch nicht ersichtlich ist).

Diese ruhige, bedachte Herangehensweise geht in meinen Augen mehr auf die Bedürfnisse des Fragestellers Freude ein, als wenn man einfach unkontrolliert aus allen Rohren schießt (viele Köche...), nur um möglichst viel Input in den Thread zu pumpen und den eigenen Drang Finger2 , unbedingt jetzt in dem Augenblick etwas loszuwerden, zu stillen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
...
Leider haben sich dann andere reingedrängt.

Gar nicht, falls das auf mich gemünzt sein sollte.

Zitat:
Original von dohx
... mein Kommilitone meinte was von Determinante. Ich finde die Invertierbarkeit zu hoch gegriffen.
...

DAS war der Grund, warum ich geantwortet habe und außerdem warst du nicht online.
Das wird doch wohl noch erlaubt sein, andernfalls .. (na ja, da sage ich jetzt lieber nichts weiter dazu).

@Leopold
Die beschriebenen Zeilenumformungen (auch schön) sind 1:1 ebenso in der Determinante durchgeführt worden.
-----------

Ich verstehe ohnehin nicht, warum - hier beobachtet, zugunsten der Matrix - um die Determinanten öfters gerne ein Bogen gemacht wird.

mY+
oktaeder20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gar nicht, falls das auf mich gemünzt sein sollte.


Selbstverständlich und offensichtlich haben sich Ulrich Ruhnau und du plötzlich mit eingeschaltet (und später dann auch ich, aber nicht aus mathematischen Gründen).

Ich denke der Ersthelfer klarsoweit hätte mit der vorigen Antwort von dohx auch leicht alleine umgehen können.

Zitat:
und außerdem warst du nicht online


Naja, das ist doch hier kein Wettrennen, oder ?
Und immer davon auszugehen, dass jemand für längere Zeit nicht da ist, wenn er gerade eben mal nicht als online angezeigt wird - das ist wohl auch eher fragwürdig.

Und deine Antwort kam gerade mal 2 Minuten nach dem vorigen Posting des Fragestellers. geschockt

Nur folgerichtig, dass sich der Ersthelfer dann zurückzieht, um nicht noch mehr Chaos herbeizuführen.


Nun muss und sollte man das alles vielleicht auch nicht zu eng sehen, darüber reden kann man aber gewiss. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
@Leopold
Die beschriebenen Zeilenumformungen (auch schön) sind 1:1 ebenso in der Determinante durchgeführt worden.


Richtig. Ich habe ja angemerkt, daß der Aufwand ähnlich wie bei der Determinante ist, wenn man diese nicht mit Sarrus berechnet. Die Rechenfehleranfälligkeit dürfte ähnlich sein.


Zitat:
Original von mYthos
Ich verstehe ohnehin nicht, warum - hier beobachtet, zugunsten der Matrix - um die Determinanten öfters gerne ein Bogen gemacht wird.


Determinanten sind ein höheres Hilfsmittel. Ich bin immer bestrebt, Aufgaben mit den geringstmöglichen Hilfsmitteln zu lösen. Beim Flächeninhalt eines Dreiecks suche ich zuerst Grundseite und Höhe, bevor ich an Heron denke oder die Integralrechnung einsetze. Aber ich halte mir auch immer den Weg über höhere Mittel offen, wenn das andere nur schlecht oder gar nicht umzusetzen ist. Diesen Grundsatz muß man selbstverständlich nicht teilen.
Hier aber wurde doch zusätzlich nach dem Lösungsraum des Gleichungssystems gefragt. Und den bekommt man mit dem Gauß-Algorithmus gleich mitgeliefert, während man bei der Determinante noch einmal neu ansetzen oder gar auf so etwas Verrücktes wie die Cramersche Regel zurückgreifen muß.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Möglicherweise hätte ich das alles mit dohx erarbeitet, aber warum man nach dem Motto "halt mal, jetzt komm ich" reingrätschen muß, erschließt sich mir nicht. oktaeder20 hat das ja schön zusammengefaßt. Mittlerweile sind es 17 Posts nach dem letzten Post von dohx (2 davon sind von mir).
dohx Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir echt leid, ihr seit echt der Hammer. Aber in der Uni geht es manchmal sehr schnell. Manchmal zu schnell. Ich bin auch leider durch die Mathe Prüfung gefallen und häng nun wieder an dem Thema.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, daß es mit der Mathe-Prüfung nicht geklappt hat. Nun denn, wir können uns ja mit der Aufgabe nochmal befassen. Wir waren ja an dieser Stelle:

Zitat:
Original von dohx
Vielleicht habe ich meine Matrix zu schwer gewählt, mein Kommilitone meinte was von Determinante. Ich finde die Invertierbarkeit zu hoch gegriffen. Vielleicht gehen wir mal von:

( 1 2 3 | 0
2 3 1 | 0
1 2 c | 0 ) aus.


Die Idee war jetzt, mittels der Determinante zu schauen, wann die Matrix invertierbar ist.

Wichtiger Hinweis: das ist ein möglicher (nicht notwendiger) Schritt. Aber da die Berechnung der Determinante bei einer 3x3-Matrix ein überschaubarer Aufwand ist, ist es jetzt auch eine nette Übung. Letzten Endes wird der Gauß-Algorithmus das geeignete Mittel sein. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Die dritte Zeile lautet jetzt:


Nicht dass es substanziell was ändert, aber: Richtig ist . Augenzwinkern
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit


Die Idee war jetzt, mittels der Determinante zu schauen, wann die Matrix invertierbar ist.

Wichtiger Hinweis: das ist ein möglicher (nicht notwendiger) Schritt. Aber da die Berechnung der Determinante bei einer 3x3-Matrix ein überschaubarer Aufwand ist, ist es jetzt auch eine nette Übung. Letzten Endes wird der Gauß-Algorithmus das geeignete Mittel sein. smile


also auf (meinen) ersten Blick gilt doch:
A Invertierbar <=> det(A) ungleich 0
<=> A hat vollen Rang <=> die Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig

dafür müssen also die 3 Zeilen linear unabhängig sein, d.h. c darf nicht 3 betragen (wie in der 1. Zeile) ;
eine Möglichkeit, die 2.Zeile per Skalar in die 3.Zeile zu überführen, sehe ich momentan nicht.
Daher würde ich mal ganz mutig nur die 3 ausschließen...
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

wäre z.B (anderes Beispiel) die Matrix stattdessen



dann darf c darf nicht 3 betragen (wie in der 1. Zeile)
und auch nicht 4 (2.Zeile div. durch 2).
Daher wären dann 3 und 4 ausschließen, damit sie invertierbar und damit eindeutig lösbar ist...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst auf die Gefahr hin, dass ich wieder eins aufs Dach kriege:

@dsyleixa
In deinem letzten Beispiel sind ALLE c auszuschließen Big Laugh
Warum? Schaue dir doch mal die ersten beiden Spalten an, die sind bereits schon linear abhängig!
Also ist in jedem Fall (eben für ALLE c) die Determinante gleich Null.

Im vorletzten Fall ist nur bei c = 3 die Determinante gleich Null.

EDIT: Man braucht nicht viel raten, versuchen oder probieren, wenn man die Determinante einfach auflöst, z.B. nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt. Dann ist im letzten Fall

D = 4c - 16 - 2(2c - 6) + 16 -12 = 4c - 4c -4 + 16 - 12 = 0 (das c fällt heraus!)
Für alle c ist die Matrix nicht invertierbar, also schon a priori nicht. Ihr Rang ist übrigens 2.

Im vorletzten Fall:

D = 3c - 2 - 4c + 12 - 7 = - c + 3

Daher sieht man, dass bei c = 3 die Determinante den Wert 0 hat.

mY+
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

klar, du hast recht, schlechtes Beispiel Augenzwinkern
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welches c€R eindeutig lösbar?
Zitat:
verbessertes Original von dohx
... wie ich herausfinden kann, für welches das LGS eindeutig lösbar ist.
Als Beispiel die Matrix:

(1 2 3 | 0
2 3 1 | -3
3 1 c | 3)


so, nachdem für die einfachere Matrix mit dem den Nullvektor als Ergebnis

(1 2 3 | 0
2 3 1 | 0
1 2 c | 0)

c=3 als Ausschluss ja recht einfach war....:



jetzt habe ich mal eine Frage zum allerersten Problem:
wie kann man bei der obigen, ersten Matrix
(1 2 3 | 0
2 3 1 | -3
3 1 c | 3)

das so umschreiben, dass sich als Ergebnis der Nullvektor ergibt?





edit: ich kriege die richtige Schreibweise mit Latex nicht hin... unglücklich


[kleinlaut]einfach den Ergebnisvektor in der Diagonalen subtrahieren? [/kleinlaut]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gehe so vor, wie bereits von Leopold im Beitrag vom 2.4. / 09:45 beschrieben.



Die Gleichung in der 3. Zeile ist für c = - 16 unlösbar. Die Koeffizientenmatrix hat dann in der 3. Zeile lauter Nullen, die Konstante ist aber 18.
Ich denke, dass du die vorgenommenen Zeilenumformungen einigermaßen mitbekommen hast.
----------

Alternativ mittels sofortigem Nullsetzen der Determinante (diese ist entwickelt nach den Elementen der 1. Spalte):

3c - 1 - 2(2c - 3)+ 3(2 - 9) = 3c - 1 - 4c + 6 - 21 = - c - 16 = 0

c = - 16
----------

Mit "Nullvektor" meinst du wohl eine Nullzeile. Natürlich kann man die Koeffizientenmatrix alleine dahingehend umformen, um irgendwo eine Nullzeile zu erhalten.
Der Vorgang ist hier analog wie oben:



Mit c = - 16 ist die 3. Zeile eine Nullzeile.
Über die Lösbarkeit des System kann allerdings hier noch nicht entschieden werden, denn es könnten auch unendlich viele Lösungen existieren. Dazu wären jetzt die Konstanten heranzuziehen.
Deswegen ist der obige (erste) Weg effizienter.
Da die Koeffizientenmatrix aber - wegen der Nullzeile - NICHT den Rang 3 hat, ist sie jedenfalls nicht invertierbar.

mY+
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön!

bei dem hier stehe ich allerdings noch auf dem Schlauch - wie kommst du auf diese Gleichungen?
Die det(A) wird doch über die Summe der Hauptdiagonalenprodukte - Summe der Nebendiagonalenprodukte berechnet.... kann es aber iwie nicht so nachrechnen wie du, von welcher Matrix gehst du da aus?:

Zitat:
Alternativ mittels sofortigem Nullsetzen der Determinante (diese ist entwickelt nach den Elementen der 1. Spalte):
3c - 1 - 2(2c - 3)+ 3(2 - 9) = 3c - 1 - 4c + 6 - 21 = - c - 16 = 0
c = - 16
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
...
Die det(A) wird doch über die Summe der Hauptdiagonalenprodukte - Summe der Nebendiagonalenprodukte berechnet....

Das ist die Regel von Sarrus. Du kannst durchaus damit rechnen, mache dies doch einmal, du solltest dasselbe Resultat bekommen.
----------
Die andere Methode - die ich verwendet habe - ist der Entwicklungssatz nach Laplace.
Dabei wird die hier 3-zeilige Determinante nach den Elementen einer Zeile oder Spalte als Summe von drei 2-zeiligen Unterdeterminanten geschrieben. Beispielsweise nach den Elementen der 1. Spalte:



Dieses Verfahren und andere sind in zahlreichen Links genau beschrieben, z.B. dort.

mY+
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ja, kenne ich, kam nur nicht darauf, weil ich gewohnheitsmäßig immer Sarrus verwende. Dann ist klar, was du gemacht hast.

Was ich oben aber eigentlich meinte:

bei der vereinfachten Matrix
(1 2 3 | 0
2 3 1 | 0
1 2 c | 0 )
ergab ja jede Zeile Null, insgesamt einen (senkrechten) Nullvektor
(0
0
0)
So konnte man schnell rauskriegen, dass c nicht 3 sein durfte, damit die Matrix linear unabhängig ist.

bei der ursprünglichen, komplizierteren Matrix
(1 2 3 | 0
2 3 1 | -3
3 1 c | 3 )
war der Lösungsvektor aber kein Nullvektor, sondern
(0
-3
3)
Und meine Frage:
kann man den so in die Matrix
(1 2 3
2 3 1
3 1 c )
"einarbeiten", dass jetzt auch hinten ein senkrechter Nullvektor als Ergebnis steht?
a1 a2 a3 | 0
b1 b2 b3 | 0
c1 c2 c3 | 0 )
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du verwechselt da etwas! Der Lösungsvektor ist (x | y | z) und was du als Lösungsvektor bezeichnest, ist der Koeffizienten-(Konstanten-)Vektor (rechts) (0 | 0 | 0) bzw. (0 | -3 | 3)

Geht es um die Lösbarkeit des lGS oder um die Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix, so ist das etwas differenzierter zu betrachten.

Für die Klärung der Frage über die Invertierbarkeit (der Koeffizientenmatrix) ist der Konstantenvektor nicht von Belang, sondern ausschließlich die Koeffizientenmatrix.
Die Konstanten bestimmen dann den Lösungsraum des Systems.
---------
Besteht der Konstantenvektor aus lauter Nullen, so liegt unabhängig von c ein homogenes Gleichungssystem vor. Für ist die ausschließliche Lösung (x | y | z) = (0 | 0 | 0), bei c = -16 liegt eine unendliche Lösungsvielfalt vor.

Das System ist dann zwar für jedes c, auch für c = -16, lösbar (wegen z = 0)*, aber die Matrix der Koeffizienten für c = -16 eben nicht invertierbar.

(*)

mY+
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

ok, Konstantenvektor.
Ich wollte also den Konstantenvektor auf Null kriegen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das geht natürlich. Siehe den vorigen Beitrag!

mY+
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ich meine:
wie die umgeformte Matrix aussieht, nachdem man es geschafft hat, den Konstantenvektor auf Null zu kriegen -
und mit welchen Einzelschritten man das schafft Augenzwinkern
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