Was sind i. i. d. Zufallsvariablen?

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gfdgfd Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind i. i. d. Zufallsvariablen?
Meine Frage:
i. i. d. seht ja für (auf Deutsch) unabhängig und identisch verteit.

Wenn ich sowas hier lese:

Für i.i.d XY-verteilte Zufallsvariablen

Was muss ich mir da konkret vorstellen?


Meine Ideen:
Angenommen, ich messe die Körpergröße von Männern. Und ich habe 10 Messungen.

Ich würde sagen, ich habe es hier mit einer Zufallsvariable X zu tun, und 10 Realisationen.

Oder habe ich es hier schon mit 10 i.i.d-Variablen zu tun, also ?

Das käme mir einerseits schlüssig vor, weil dadurch, dass überall ein X verwendet wird, angedeutet wird, dass es sich jedes Mal um dieselbe grundlegende Größe handelt, zu der ein Zufallsexperiment gemacht wird.

Andererseits finde ich es verwirrend, weil: was ist denn dann der Unterschied zwischen ZV und Realisation? Wird hier nicht das, was eigentlich eine Realisation, also eine konkrete Zahl ist, wieder als Zufallsvariable angesehen?

Unter 10 Zufallsvariablen stelle ich mir eigentlich sowas vor:

- Variable 1: Körpergröße =
- Variable 2: Gewicht =
- Variable 3: BMI =
usw.

und wenn die alle unabhängig sind und identisch verteilt, sind sie eben i.i.d.

Das heißt, bedeutet: , dass ich quasi 10 verschiedene Zufallsprozesse oder -experimente gemacht habe, von verschiedenen Dingen.

Oder heißt es, dass ich 10 zufallsexperimente gemacht habe, wobei ich jedes mal ein und dieselbe Sache gemessen haben?

Oder noch anschaulicher: Angenommen, ich schreibe alle meine Ergebnisse untereinander in eine Tabelle auf. Habe ich dann bei 10 i.i.d.-ZV EINE Spalte mit 10 Zeilen oder 10 Spalten mit jeweils 1 Reihe?

Die Frage mag vielleicht komisch erscheinen, aber mich bringt bei der Statistik/Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem die Notation durcheinander.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Zufallsvariable besser Zufallsgröße ist weder zufällig noch variabel.

Es ist eine Funktion

Wenn man einen Reißnagel als Zufallsgerät mit 2 Ergebnissen (Bernouilli Experimen) benutzt kann man sagen:

sagen wir mal es gilt
und damit

X ist nun explizit als Menge schreibbar.

Nun möchte man s näher bestimmen und führt logischerweise wiederholt n mal das Experiment durch.

diesem Wert nähert man sich dadurch immer besser.



um eine Zufallsgröße, die diese Binomial Verteilung der Anzahl der "Spitzen" besser schreiben zu können definiert man n Zufallsgrößen

und nun noch die Zufallsgröße und hat eine kompakte Schreibfigur einer binomialverteilten Zufallsgröße.

und man kann z.B. schreiben
gfdgfd Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind i. i. d. Zufallsvariablen?
Hallo Dopap,

danke für die Antwort. So ganz hilft mir das nicht, vllt. ist die Frage auch doof gestellt.

Worum es mit geht, ist im Folgendes:

ich schaue mir ein Skript zum Thema Maximum Likelihood an. Den Link darf ich leider nicht posten.

Da steht auf Folie 12 / 32 Folgendes bei der Beschreibung des MLE-Verfahrens für eine Diskrete Zufalsvariable:

"Messungen X1, X2, . . . , Xn: i.i.d. Kopien einer diskreten Zufallvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X = ): parametrisiert durch ."

Dann gibt es weiter oben ein einführendes Beispiel zur Verspätung von Zügen:

"Wir sammeln i.i.d. Daten der Pünktlichkeit an 20 Tagen und zählen wie viele Verspätungen es insgesamt gab"

Worum es mir geht, ist die Notation.

Manchmal sehe ich und manch mal X bzw. Y um zwei i.i.d Zufallsvariablen zu beschreiben.

Meine Frage ist, ob das nur Notation ist, oder ob es da einen Unterschied gibt?

So wie ich es verstehe, würden die an 20 Tagen gesammelten Daten geschrieben als [llatex] X_1, ..., X_20[/latex]. Ich könnte aber auch schreiben.

Laut diesem Skript habe ich es bei 20 Messungen also um 20 Kopien einer Zufallsvariable zu tun. Okay: ich mache quasi 20 Zufallsexperimente einer bestimmten Größe (der Verspätungszeit) und bei jeder Messung sind die möglichen Werte ja identisch verteilt, wegen i.i.d.

Das heißt, die Notation drückt aus, dass ich EINE Sache n-mal gemessen habe und jeder der gemessen Werte aufgrund derselben dahinterliegenden Verteilung zustande kam.

Falls das so ist, wäre meine nächste Frage: Wie notiert man, dass man zwei unterschiedliche Dinge an 20 Tagen gemessen hat z. B. Pünktlichkeit und Anzahl Passagiere?

Dann wäre die Pünktlichkeit und die Anzahl Passagiere ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was sind i. i. d. Zufallsvariablen?
Zunächst vorab:

Zitat:
Original von Dopap
Eine Zufallsvariable besser Zufallsgröße ist weder zufällig noch variabel.

Es ist eine Funktion

Das ist nicht richtig. Hier verwechselt Dopap die Zufallsvariable, die mathematisch durch eine Abbildung in den repräsentiert wird, mit ihrer Verteilingsfunktion, die in das Intervall [0,1] abbildet.

Zitat:
Original von gfdgfd
Worum es mir geht, ist die Notation.

Manchmal sehe ich und manch mal X bzw. Y um zwei i.i.d Zufallsvariablen zu beschreiben.

Meine Frage ist, ob das nur Notation ist, oder ob es da einen Unterschied gibt?

Das sind nur unterschiedliche Notationen. Wenn man mehrere Zufallsgrößen hat, dann kann man sie mit oder mit oder sonst wie bezeichnen. Das ist eine Frage, was einem zweckmäßiger erscheint.

Wenn man ausdrücken möchte, dass diese Zufallsgrößen alle dieselbe Verteilung haben und unabhängig voneinander sind, dann muss man das explizit dazu schreiben z. B. mit dem Kürzel i.i.d. Es ist dann meistens zweckmäßig, die Notation mit der Durchnummerierung zu wählen, aber das ist keineswegs zwingend. Umgekehrt kann man rein aus einer Durchnummerierung von Zufallsgrößen auch nicht zwingend schließen, dass diese i.i.d. sind.
gfdgfd Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind i. i. d. Zufallsvariablen?
Danke @Huggy!

Okay, dann ist das erstmal nur Notation.

Aber doch noch etwas tiefer einsteigend:

Folgendes Szenario eben:

Ich führe 10 Messungen aus und messe eine Sache, mache ja also 10 Zufallsversuche.

Dann habe ich hier 10 i.i.d Zufallsvariablen, richtig?

Und eine übliche Notation, das als Vektor aufzufassen, also .

Wenn ich jetzt aber bei den 10 Messungen jeweils 2 Werte messe, wie verhält es sich denn dann?

Habe ich dann immer noch nur 10 i.i.d Zufallsvariablen, die einfach 2-Dimensional sind? Und die kann ich dann immer noch als bezeichnen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was sind i. i. d. Zufallsvariablen?
Zitat:
Original von gfdgfd
Dann habe ich hier 10 i.i.d Zufallsvariablen, richtig?

Ja.

Zitat:
Und eine übliche Notation, das als Vektor aufzufassen, also .

Kann man machen.

Zitat:
Wenn ich jetzt aber bei den 10 Messungen jeweils 2 Werte messe, wie verhält es sich denn dann?

Habe ich dann immer noch nur 10 i.i.d Zufallsvariablen, die einfach 2-Dimensional sind? Und die kann ich dann immer noch als bezeichnen?

Mit den Benennungen kannst du alles mögliche machen. Naheliegend ist es, die einen 10 Messungen mit z. B. zu bezeichnen, welche untereinander i.i.d. sind, und die anderen 10 Messungen z.B mit , welche auch untereinander i.i.d. sind. Aber und werden im Allgemeinen nicht die gleiche Verteilung haben und auch nicht unabhängig sein. Wenn es einem zweckmäßig erscheint, kann man und zu zusammenfassen, was eine 2-dimensionale Zufallsvariable ist.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich nannte bereits eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Nach Arthur Engel "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik" Band I Seite 79 gilt :

Zitat:
Eine Zufallsvariable X auf ist eine Regel die jedem eine reelle Zahl zuordnet. Mit anderen Worten :
[...] es ist eine reelle Zahlenfunktion auf

hier also

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