Kongruenz nicht möglich

01.04.2020, 16:55

Pfefferkuchen

Kongruenz nicht möglich

Meine Frage:
Hallo,

M und N sind teilerfremde, positive natürliche Zahlen,

M ist gerade,

N ungerade,

M > N,

A² = M² - N²

Meine Ideen:
Dann folgt $\begin{eqnarray*} A^2 \equiv -1\ (\mathrm{mod}\, 4) \end{eqnarray*}$ . Warum kann das aber nicht sein?

01.04.2020, 17:45

Elvis

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$\begin{eqnarray*} A^2=M^2-N^2=4K^2-N^2\equiv -N^2\mod 4 \end{eqnarray*}$
Beispiel: $\begin{eqnarray*} N=1\Rightarrow A^2\equiv-1\mod 4 \end{eqnarray*}$

01.04.2020, 18:25

Pfefferkuchen

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Das überrascht mich jetzt... eigentlich sollte M gerade, N ungerade, schiefgehen und stattdessen muss dann M ungerade, N gerade gelten... verwirrt

01.04.2020, 18:30

Pfefferkuchen

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Achso, A ist ebenfalls eine positive natürliche Zahl. Dann geht dein Beispiel nicht mehr, oder? verwirrt

Danke übrigens für deine Hilfe

01.04.2020, 18:30

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Wer sagt das? $\begin{eqnarray*} (2k)^2-(2l-1)^2 \end{eqnarray*}$ klärt doch die Sache.
Worauf du wahrscheinlich hinaus willst, ist der Umstand, dass eine Quadratzahl nicht kongruent -1 mod 4 sein kann und damit eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} A^2=M^2-N^2 \end{eqnarray*}$ unter den gemachten Voraussetzungen an M und N nicht gelten kann.

01.04.2020, 18:37

Pfefferkuchen

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Zitat:

Original von URL
Wer sagt das? $\begin{eqnarray*} (2k)^2-(2l-1)^2 \end{eqnarray*}$ klärt doch die Sache.
Worauf du wahrscheinlich hinaus willst, ist der Umstand, dass eine Quadratzahl nicht kongruent -1 mod 4 sein kann und damit eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} A^2=M^2-N^2 \end{eqnarray*}$ nicht gelten kann.

Genau. Und den Ansatz hatte ich auch. Dann hat man eben $\begin{eqnarray*} A^2=4k-1 \end{eqnarray*}$ . Warum kann das nicht sein? Also warum kann eine Quadratzahl nicht kongruent -1 mod 4 sein?

Könnt ihr mir da einen kleinen Tipp geben?

01.04.2020, 18:38

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A ist entweder gerade oder ungerade

01.04.2020, 18:43

Pfefferkuchen

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A ist ungerade, weil M,N unterschiedliche Parität $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M²,N² unterschiedliche Parität $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A² = M² - N² ungerade.

01.04.2020, 18:45

Elvis

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oder so: $\begin{eqnarray*} A\equiv 0,1,2,3\mod 4 \Rightarrow A^2\equiv 0,1,0,1\mod 4 \end{eqnarray*}$

01.04.2020, 18:46

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Richtig, aber nicht wirklich relevant. Aber wenn du schon weißt, dass A=2r-1 ist, was weißt du dann über $\begin{eqnarray*} A^2 \bmod 4 \end{eqnarray*}$
@Elvis: sorry, dachte du bist nicht da. bin wieder weg Wink

01.04.2020, 20:58

Pfefferkuchen

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Aaaah endlich hat's Klick gemacht! Forum Kloppe

Danke vielmals für eure Hilfe! Freude

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