Forster-Formel beweisen

01.04.2020, 20:37	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Forster-Formel beweisen In meinem Übungsbuch ist eine Aufgabe, zu der es dort keine Lösung gibt. Aufgabe 1B c) Gegeben: $\begin{eqnarray} \binom xk=\prod\limits_{j=1}^{k} \frac{x-j+1}j =\frac{x(x-1)\cdot\ldots\cdot (x-k+1)}{k!} \end{eqnarray}$ insbesondere $\begin{eqnarray} \binom x0=1 \end{eqnarray}$ Man beweise für alle reellen Zahlen x und natürlichen Zahlen k: $\begin{eqnarray} \binom{k+x}{2k+1}=-\binom{k-x}{2k+1} \end{eqnarray}$ Das will ich mit Vollständiger Induktion beweisen (oder prüfen) und fange mit k=1 an. $\begin{eqnarray} \binom{1+x}{3}=-\binom{1-x}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {(1+x)x(-1+x)}6=-\frac{(1-x)(-x)(-1-x)}6 \end{eqnarray}$ ok Nun zum Induktionsschritt k->k+1 $\begin{eqnarray} \left.\binom{k+x}{2k+1}=-\binom{k-x}{2k+1}\quad \right\| \cdot\frac{-k+x-1}{2k+2}\cdot\frac{-k+x-2}{2k+3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \binom{k+x}{2k+3}=-\binom{k-x}{2k+1}\cdot\frac{-k+x-1}{2k+2}\cdot\frac{-k+x-2}{2k+3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \binom{k+x}{2k+3}=-\binom{k-x}{2k+1}\cdot\frac{k-x+1}{2k+2}\cdot\frac{k-x+2}{2k+3} \end{eqnarray}$ Ab hier scheitere ich, weil ich nicht weiß, wie ich die Terme der rechten Seite verheiraten muß.
01.04.2020, 21:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Forster-Formel beweisen Ich weiß noch nicht so genau, wie dein Beweis verlaufen soll, aber irgendwo muss $\begin{eqnarray} \binom{k+1 + x}{2k+3} \end{eqnarray}$ auftauchen, weil du überall k durch k+1 ersetzen musst.
01.04.2020, 21:46	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Forster-Formel beweisen Danke URL, Du hast recht ! Auf ein Neues: zum Induktionsschritt k->k+1 $\begin{eqnarray} \left.\binom{k+x}{2k+1}=-\binom{k-x}{2k+1}\quad \right\| \cdot\frac{k+x+1}{2k+2}\cdot\frac{-k+x-1}{2k+3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \binom{k+x+1}{2k+3}=-\binom{k-x}{2k+1}\cdot\frac{k+x+1}{2k+2}\cdot\frac{-k+x-1}{2k+3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \binom{k+x+1}{2k+3}=-\binom{k-x}{2k+1}\cdot\frac{k-x+1}{2k+2}\cdot\frac{-k-x-1}{2k+3} \end{eqnarray}$ Jetzt komme ich auch weiter. $\begin{eqnarray} \binom{k+x+1}{2k+3}=-\binom{k-x+1}{2k+3}\quad\Box \end{eqnarray}$ Und fertig! Das ging ja schnell!
01.04.2020, 22:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} p(x) = {{k+x} \choose {2k+1}} \, , \ q(x) = - {{k-x} \choose {2k+1}} \end{align}$ sind Polynome über $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ vom Grad $\begin{align} 2k+1 \end{align}$ , die vollständig in Linearfaktoren zerfallen und auch noch dieselben Nullstellen besitzen. Jetzt kann man zum Beispiel die Leitkoeffizienten vergleichen.

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