Untergruppe bestimmen

02.04.2020, 15:06	majestix07	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe bestimmen Meine Frage: Hallo, ich hab folgende Aufgabe: Gegeben sind: U1 = {x E R^2\| x2 = x1^2} U2 = {x E R^2\| x2 = 2x1} U3 = {x E R^2 \| x1 + x2 = x1 - x2 = 0} U4 = {x E R^2 \| (x1 + x2)(x1 - x2)= 0} Zeigen Sie, ob die U_i jeweils eine Untergruppe sind oder nicht. Skizzieren Sie alle U_{i}. Meine Ideen: Ich hatte bis jetzt Untergruppen vor allem im Kontext mit Symmetriegruppen und bin deswegen ein wenig ratlos bei dieser Aufgabenstellung. Ich kann natürlich für jede U_i die Bedingungen der Untergruppen überprüfen(dh 1. Abgeschlossenheit bzgl der Verknüpfung 2. Neutrales Element ist enthalen 3. Inverse sind enthalten). Oder kann man hier besser das Untergruppenkriterium benutzen? Aber beispielsweise bei U1 ist doch gar keine Verknüfung vorhanden, demnach kann U1 dann auch keine Untergruppe sein?
02.04.2020, 15:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe bestimmen Prinzipiell ergibt sich die Verknüpfung aus der Obergruppe. Im Zweifelsfall wäre das die Addition im R².
02.04.2020, 22:44	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe bestimmen [attach]50905[/attach]
04.04.2020, 15:17	majestix07	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe bestimmen Ich hab die U_i s jeweils durchgerechnet an Hand von den Bedingungen für Untergruppen. Auf Basis dessen denke ich, dass U1 U2 und U4 jeweils eine Untergruppe von R^2 bilden. Bei U3 bin ich mir allerdings noch nicht so sicher, denn das neutrale Element der Addition und Subtraktion ist 0 und dieses ist enthalten. - Bei den Inversen habe ich die Gleichung in zwei Teilgleichungen aufgeteilt und bekam zwei verschieden Inverse Funktionen: x1 + x2 = x1 - x2 = 0 (I) x1 + x2 = 0 (II) x1 - x2 = 0 (I) x1 + x2 = 0 f : x1 = -x2 f^(-1): x2 = -x1 (II) x1 - x2 = 0 f: x1 = x2 f^(-1): x2 = x1 -> Aber ist das eigentlich nicht ein Wiederspruch? Ich hätte erwartet, dass für eine Gleichung dieselbe Inverse gelten. - Abgeschlossenheit bzgl der Verknüpfung: Es gibt zwei Verschiedene Verknüpfungen + und - , die beide gleich 0 seien sollen. Dies ist ein Widerspruch. Aber bedeutet dies auch, dass man behaupten kann, dass die Verknüpfung abgeschlossen ist ? Wie du es @Ulrich Ruhnau richtig gezeichnet hast, gilt die U3 nur wenn x1 = 0 und x2 = 0 ist. Ich hätte jetzt auf der Basis von des Nicht-Vorhanden der Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung und dem Widerspruch bei den Inversen geschlussfolgert, dass U3 keine Untergruppe von R^2 ist.
04.04.2020, 15:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe bestimmen Vorweg: $\begin{eqnarray} U_3 \end{eqnarray}$ besteht nur aus dem Nullpunkt und ist damit die triviale Untergruppe. Dein Widerspruch bei der Inversen ist keiner, denn beide sind für den Nullpunkt erfüllt - und nur den gibt es in $\begin{eqnarray} U_3 \end{eqnarray}$ Es gibt auch nur eine Verknbüpfung. Das Minuszeichen kommt vom additiv Inversen, also $\begin{eqnarray} x_1+(-x_2)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ muss man nicht von Hand durchrechnen, wenn man benutzen darf, dass es sogar ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ ist. Das gleicht gilt dann für $\begin{eqnarray} U_3 \end{eqnarray}$ als Durchschnitt von zwei Unterräumen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »