Extremwertaufgabe

02.04.2020, 18:23

timmy3

Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Hi, Ich soll diese Aufgabe lösen komme aber einfach nicht auf das Ergebnis.

Bitte um Hilfe

In eine Kugel mit Radius r soll ein Zylinder mit möglichst großer Oberfläche eingeschrieben werden

Meine Ideen:
Als Hauptbedingung hätte ich die Formel der Oberfläche des Zylinders also : O= 2*r^2*pi + 2r*pi*h

Als Nebenbedingung: (2R)^2 = (2r)^2 + h^2 , wobei groß R= Radius der Kugel und klein r= Radius des Zylinders und h=Höhe des Zylinders.

Jetzt hätte ich entweder h oder r mithilfe der Nebenbedingung ausgedrückt in die Hauptbedingung eingesetzt diese dann abgeleitet und 0 gesetzt. allerdings komme ich einfach auf kein Ergebnis bitte um Hilfe

02.04.2020, 18:31

Elvis

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https://www.youtube.com/watch?v=n3Xl60KQwwo

Das hätte ich nicht besser gekonnt. Dauert auch nur 45 Minuten. Du musst nur noch Volumen des Zylinders in Oberfläche des Zylinders umformulieren. Es wäre ja auch zu dumm, wenn für dich nichts mehr zu tun bliebe ...

02.04.2020, 18:51

mathefreund82

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Das ist aber nicht dieselbe Aufgabe, da dort das Volumen maximiert wird und nicht die Oberfläche. (Nach mehreren Edits ist es dem Vorposter auch aufgefallen).

Zudem macht es sich der Vorrechner im Video unnötig kompliziert, da er die NB nach h statt r² umstellt.
Er gibt sich Mühe, man merkt aber ihm fehlt die Routine.

Zitat:

In eine Kugel mit Radius r soll ein Zylinder mit möglichst großer Oberfläche eingeschrieben werden

Nenne den festen Kugelradius dann lieber direkt auch R in der Aufgabenstellung , wenn du es danach eh auch so gemacht hast.

Zitat:

Als Nebenbedingung: (2R)^2 = (2r)^2 + h^2

Löse die Gleichung unbedingt nach h auf, dann brauchst du nur an einer Stelle nachher einsetzen.

Poste danach doch ruhig mal deine Ableitung O '(r), dann kann man sehen wo evtl. Fehler passiert sind.

Nutze dafür am besten den Formeleditor:

matheboard.de/formeleditor.php

02.04.2020, 20:05

timmy4

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O'(r)
Hatte leider Schwierigkeiten mit meinen Account.

Danke für deine Hilfe also ich hab jetzt

h= (4R^2 - 4r^2)^(1/2)

also O(r)= 2* r^2*pi + 2*r*pi (4R^2 -4r^2)^(1/2)

O'(r)= 4*r*pi + 2*pi (4R^2-4r^2)^(1/2) + 2*r*pi * ((-4r)*(4R^2 -4r^2)^(-1/2))

sry ich komme mit dem Fromeleditor noch nicht ganz zu recht.

lg und danke

Willkommen im Matheboard!
Du bist hier zweimal angemeldet, der User timmy3 wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

02.04.2020, 21:34

mathefreund82

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Dann schreiben wir das mal in schön:

Ich erlaube mir mal noch die Vereinfachung $\begin{eqnarray*} \sqrt{4R^2-4r^2}=\sqrt{4(R^2-r^2)}=2\sqrt{R^2-r^2} \end{eqnarray*}$

Somit folgt dann vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} O'(r)=4 \pi r+4 \pi \sqrt{R^2-r^2}-\frac{4 \pi r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} \end{eqnarray*}$

Setzt du das jetzt gleich Null, dann liegt es nahe die Gleichung durch $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ zu teilen.
Danach könnte man die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren, damit keine Wurzelterme mehr im Nenner stehen.
Das ist immer noch eine Äquivalenzumformung, da man R>r annehmen kann.
Es verbleibt damit nur noch genau ein Wurzelterm in der Gleichung, weshalb man diesen isolieren kann, um die Gleichung zu quadrieren.

Wenn du alles richtig machst, dann sollte nach einigen Umformungen die biquadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} 5r^4-5R^2r^2+R^4=0 \end{eqnarray*}$ resultieren.

Schaffst du es bis dahin ?

02.04.2020, 21:51

Ulrich Ruhnau

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RE: Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von timmy3
Als Hauptbedingung hätte ich die Formel der Oberfläche des Zylinders also : O= 2*r^2*pi + 2r*pi*h

Als Nebenbedingung: (2R)^2 = (2r)^2 + h^2 , wobei groß R= Radius der Kugel und klein r= Radius des Zylinders und h=Höhe des Zylinders.

[attach]50904[/attach] Die Oberfläche gibst Du richtig an. Und die Randbedingung ist auch in Ordnung.

03.04.2020, 07:51

timmy4

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0=O'(r)
ja ich komme auf die 5r^4 - 5R^2r^2 + R^4 = 0

Als nächstes hätte ich r^4 durch x^2 substituiert.

Ich komme dann auf: x (1,2) = (R^2*x /2) +/- R^2 *((5x^2-4)/20)^(1/2).

kann das stimmen wenn ja : schließe ich einen Fall aus danach rücksubstituieren und für h einsetzten. Allerdings kommt mir mein Ergebnis doch etwas komisch vor.

Lg

03.04.2020, 09:46

Leopold

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Die Variable $\begin{align*} x \end{align*}$ , nach der du auflöst, kann doch nicht in der Auflösung selbst vorkommen.

03.04.2020, 09:59

timmy4

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ja natürlich blöder Fehler - also :

x(1,2) = (R^2 /2) +/- R^2 * (1/20)^(1/2)

kann das stimmen ?

03.04.2020, 10:15

mathefreund82

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Zitat:

ja ich komme auf die 5r^4 - 5R^2r^2 + R^4 = 0

Nach Division der Gleichung durch 5 und anschließender Nutzung der pq-Formel erhält man:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=\frac{R^2}{2} \pm \sqrt{\frac{R^4}{4}-\frac{R^4}{5}}=\frac{R^2}{2} \pm \frac{R^2}{\sqrt{20}} \end{eqnarray*}$

Nach der Resubstitution damit dann:

$\begin{eqnarray*} r_1=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{20}}}R \approx 0,85R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_2=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{20}}}R \approx 0,53R \end{eqnarray*}$

Ist dir klar welche Lösung du nun ausschließen kannst und vor allem warum du das so ist ?

Ich würde ab da dann auch mit den gerundeten Ergebnissen weiterrechnen, ich persönlich habe zumindest keine Lust diese "Wurzelmonster" weiter zu benutzen. Big Laugh

Es fehlt danach dann natürlich auch noch das Nachweisen eines Maximums mittels einer hinreichenden Bedingung.

03.04.2020, 10:20

Leopold

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Ja, das stimmt. Und verwende Latex zum Schreiben deiner Formeln. (Klicke auf den Zitat-Knopf meines Beitrags, dann siehst du, wie man das macht.)

$\begin{align*} x = \frac{1}{2} R^2 \pm R^2 \cdot \left( \frac{1}{20} \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*}$

Jetzt mußt du dir noch überlegen, welches Vorzeichen das richtige ist.

03.04.2020, 10:24

mathefreund82

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Da der Nutzer Leopold offenbar dringend übernehmen möchte, verabschiede ich mich dann mal, damit es kein Chaos gibt.

Viel Erfolg weiterhin, timmy4 Wink

03.04.2020, 11:06

timmy4

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also ich würde die 2. Lösung mit demm Minus auschließen, eine ganz klare Begrüdnung habe ich allerdings noch nicht dafür.

Meinst du, dass ich dann noch die 2. Ableitung berechnen sollte für O''(r) setzte ich für das r die Lösung 1 der quatratischen Gleichug ein und hoffe auf ein Ergebnis kleiner Null.

Anschließend in h einsetzen und fertig ?

Danke für eure Hilfe

03.04.2020, 11:11

Leopold

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Die Gleichung $\begin{align*} x = 2x - 1 \end{align*}$ hat offenbar die Lösung $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ . Die quadrierte Gleichung $\begin{align*} x^2 = \left( 2x - 1 \right)^2 \end{align*}$ hat zusätzlich die Lösung $\begin{align*} x = \frac{1}{3} \end{align*}$ . Denn auch wenn man $\begin{align*} -x = 2x-1 \end{align*}$ quadriert, entsteht diese Gleichung. Bevor du beim Lösen deine Gleichung quadriert hast, dort mußt du überprüfen, welche deiner beiden gefundenen Lösungen die richtige ist.

Ich würde das Ergebnis in Verhältnissen formulieren, also zum Beispiel so: Wenn der Zylinderradius so und so viel Prozent des Kugelradius beträgt, dann wird die Zylinderoberfläche maximal.

Was das Überprüfen einer hinreichenden Bedingung angeht, so genügt es, die Randwerte deiner Funktion zu berechnen und zu überprüfen, ob an der gefundenen Stelle der Wert höher als diese liegt.

03.04.2020, 14:25

timmy4

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also kann ich so begründen: da Oberfläche vom Zylinder maximal werden soll nehme ich die erste Lösung der quadratischen Gleichung?

Also ich habe jetzt die 2. Ableitung gebildet und eingesetzt stimmt ist allerdings sehr mühsam - was meinst du genau mit überprüfe die Randpunkte der Funktion und welche wären das?

03.04.2020, 14:59

Leopold

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Eigentlich hast du etwas Wichtiges vergessen. Zu einer Funktion gehört immer ein Definitionsbereich. Gerade bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen ist das zentral. Wie findet man den? Man muss sich überlegen, was sinnvolle Werte für die unabhängige Variable sind. Bei geometrischen Anwendungen hilft oft ein Blick in die Zeichnung.

$\begin{align*} O = O(r) = 2 \pi r^2 + 4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2} \, , \ r \in D \end{align*}$

Der Zylinderradius $\begin{align*} r \end{align*}$ darf zwischen 0 und $\begin{align*} R \end{align*}$ variieren. Ob man 0 und $\begin{align*} R \end{align*}$ noch zum Definitionsbereich dazunimmt, ist Geschmackssache. Ich tue das einmal:

$\begin{align*} D = [0,R] \end{align*}$

Die Randwerte $\begin{align*} r=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} r=R \end{align*}$ führen zu Entartungsfällen:

$\begin{align*} r = 0 \end{align*}$ : Zylinder entartet zu einer Strecke
$\begin{align*} r = R \end{align*}$ : Zylinder entartet zu einer Doppeläquatorkreisfläche

Versuche, dir das an der Zeichnung vorzustellen. Die formale Berechnung der Randwerte führt genau zu dem, was man sich auch anschaulich vorstellt:

$\begin{align*} O(0) = 0 \, , \ \ O(R) = 2 \pi R^2 \end{align*}$

Wenn jetzt an der gefundenen Stelle $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} O(r_1) > 2 \pi R^2 \end{align*}$ , dann muß an dieser Stelle das globale Maximum liegen. (Begründung: Das globale Maximum kann nicht am Rand liegen, da du im Innern ja einen größeren Wert als die Randwerte gefunden hast. Das globale Maximum muß also im Innern liegen. Dort muß die Ableitung 0 sein. Es gibt aber nur eine Stelle im Innern des Definitionsbereichs, an der die Ableitung 0 ist, nämlich $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ . Also muß dort auch das globale Maximum liegen.) Eine Überprüfung mit der 2. Ableitung ist überflüssig.

04.04.2020, 08:26

timmy4

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Danke für die Erklärung. Ich denken ich habe das jetzt auch richtig verstanen mit der Begründung.

Hab dann noch in h eingesetzt und komm dann auf das Endergebnis. r= 0,85... R und h= 1,05... R

müsste so stimmen oder ?

04.04.2020, 09:29

Leopold

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Stimmt.

Ich habe einmal ein wenig getüftelt und bin auf den folgenden alternativen Ansatz gekommen.

Als unabhängige Variable für die Zielfunktion nimmt man den Winkel $\begin{align*} \mu \end{align*}$ , den zwei Kugelradien einschließen, die einen Durchmesser des Zylindergrundkreises einfassen. Im zugehörigen gleichschenkligen Dreieck (zum Beispiel $\begin{align*} CDO \end{align*}$ bei Ulrich Ruhnau) wendet man den Cosinussatz für $\begin{align*} \mu \end{align*}$ an:

$\begin{align*} (2r)^2 = R^2 + R^2 - 2 R \cdot R \cos(\mu) \end{align*}$

$\begin{align*} \color{blue} 2r^2 \color{black} = R^2 \left( 1 - \cos(\mu) \right) \end{align*}$

Der Flächeninhalt des nämlichen Dreiecks wird auf zwei Arten berechnet, einmal mit $\begin{align*} 2r \end{align*}$ als Grundseite und $\begin{align*} \frac{1}{2} h \end{align*}$ als Höhe und einmal mit den beiden Schenkeln und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel $\begin{align*} \mu \end{align*}$ . Man erhält die Gleichung

$\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot \frac{1}{2} h = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\mu) \end{align*}$

$\begin{align*} \color{red} rh \color{black} = R^2 \sin(\mu) \end{align*}$

Und das setzt man in

$\begin{align*} O = \color{blue} 2 \color{black} \pi \color{blue} r^2 \color{black} + 2 \pi \color{red} rh \end{align*}$

ein und findet so

$\begin{align*} O = O(\mu) = \pi R^2 \left( 1 - \cos(\mu) + 2 \sin(\mu) \right) \, , \ \ 0 \leq \mu \leq \pi \end{align*}$

Das Maximum wird angenommen, wenn $\begin{align*} \mu = \mu_0 \approx 2{,}0344 \approx 116{,}6^{\circ} \end{align*}$ ist.

Wenn du Lust hast, kannst du ja diesen Ansatz einmal weiterverfolgen. Mir scheint er einfacher, wenn man die Grundlagen von Sinus und Cosinus beherrscht. Natürlich führt er zum selben Ergebnis.

04.04.2020, 13:56

wolldecke

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Zitat:

Also ich habe jetzt die 2. Ableitung gebildet und eingesetzt stimmt ist allerdings sehr mühsam

Wenn die 2. Ableitung zu aufwendig ist, dann gibt es ja noch die Bestätigung des Vorzeichenwechsels VZW der Steigung von + nach - über die schon bestimmte 1. Ableitung.

Beim Vorschlag von Leopold mittels Randwerte und Co musst du schon ein paar erklärende Sätze für eine saubere Begründung parat haben.

Die VZW-Methode ist da gnädiger und erfordert nur stumpfes Einsetzen.
In Frage käme z.B. O '(0) und O '(0,9R) - leider macht O '(R) hier Probleme. Augenzwinkern

Ein Taschenrechner ist für den zweiten Wert sicher von Nöten, aber den brauchte man ja auch schon, um an die gerundeten 0,85 zu kommen.

Man könnte auch noch über einen Lagrange-Ansatz nachdenken (da du die Aufgabe in den Hochschulbereich geschrieben hast, hast du davon vielleicht auch schon gehört).
Immerhin ist das Ableiten dort viel einfacher.
Die entstehenden Wurzelgleichungen wird man aber auch damit wohl nicht vermeiden können.

04.04.2020, 14:27

Leopold

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Zitat:

Original von wolldecke
Beim Vorschlag von Leopold mittels Randwerte und Co musst du schon ein paar erklärende Sätze für eine saubere Begründung parat haben.

Die VZW-Methode ist da gnädiger und erfordert nur stumpfes Einsetzen.

Da gehöre ich einer ganz andern Fraktion an.

Oft ist man ja auch am Wert des Maximums interessiert. Wenn man das sowieso berechnen muß, erübrigt sich in vielen Fällen das stupide Nachweisen eines hinreichenden Kriteriums für ein Maximum, ob jetzt mit erster oder zweiter Ableitung. Wie man das machen kann, habe ich in meinem Beitrag erklärt.
Prinzipiell bin ich gegen jede Form des stumpfen Einsetzens in irgendwelche Formeln. Viel eleganter ist es, sich die Gegebenheiten der jeweils aktuellen Situation zunutze zu machen. Ich ärgere mich über mich selbst, wenn ich erst im nachhinein bemerke, wie umständlich ich vorgegangen bin, nur weil ich zu sehr der Routine gehorcht habe.
Aber warum denken, wenn man auch rechnen kann.

Zitat:

Original von wolldecke
In Frage käme z.B. O '(0) und O '(0,9R) - leider macht O '(R) hier Probleme. Augenzwinkern

Ein Taschenrechner ist für den zweiten Wert sicher von Nöten, aber den brauchte man ja auch schon, um an die gerundeten 0,85 zu kommen.

Auch das sehe ich anders.
Wenn man schon die erste Ableitung bemüht, warum dann nicht $\begin{align*} r=R \end{align*}$ nehmen, notfalls im Grenzübergang. Man betrachtet $\begin{align*} r<R \end{align*}$ und stellt fest:

$\begin{align*} O'(r) = 4 \pi \left( r + \sqrt{R^2 - r^2} - \underbrace{\frac{r^2}{\sqrt{R^2 - r^2}}}_{\to \infty \ \ \text{für} \ \ r \to R} \right) \to - \infty \ \ \text{für} \ \ r \to R \end{align*}$

04.04.2020, 17:37

timmy4

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Vielen Dank für deine Hilfe

04.04.2020, 18:28

wolldecke

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@ Leopold

Für Übungsaufgaben, wo man genügend Zeit hat, bin ich da total bei dir.
Ich bestreite ja auch nicht die Eleganz deines Vorschlags.

Meiner Erfahrung nach sind Matheklausuren in der Uni oft mit viel Zeitdruck verbunden, wodurch es (leider) eher zum Wettrennen wird.
In einer solchen Stresssituation kann es für einen Studenten evtl. besser sein auf "stumpfe Mittel" zurückzugreifen.
Was hat er/sie am Ende davon, wenn man sich einen eleganten Weg überlegt und einen das aber am Ende die Zeit für andere Aufgaben gekostet hat ?
Jetzt hat timmy das einmal ausführlich von dir vorgeführt bekommen.
Wenn er das in einer Klausur dann auch noch mal eben so bezogen auf eine andere Aufgabe aus dem Ärmel schütteln kann, dann perfekt. Freude

Wenn dem aber nicht so sein sollte, dann lohnt sich aber meiner Meinung nach, dass man noch etwas in der Hinterhand hat.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} O'(r) = 4 \pi \left( r + \sqrt{R^2 - r^2} - \underbrace{\frac{r^2}{\sqrt{R^2 - r^2}}}_{\to \infty \ \ \text{für} \ \ r \to R} \right) \to - \infty \ \ \text{für} \ \ r \to R \end{eqnarray*}$

Stimmt, so geht es ja sogar noch schneller und ganz ohne Taschenrechner. smile

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