Exponentielles Wachstum und Abnahme

02.04.2020, 23:05

ArdaG

Exponentielles Wachstum und Abnahme

Meine Frage:
Hallo kann mir jemand bei einer Aufgabe helfen wo es um exponentielles Wachstum geht in einer Tabelle

1 t : 0 1 2 3 4 8
B(t): 6,3 8,99

2 t : 0 1 2 3 4 8
B(t): 8800 480

Wie rechnet man jetzt den wert für B(t) aus aber bitte ausführlich

Meine Ideen:
keine Ahnung

02.04.2020, 23:13

seinfeld

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Eine Exponentialfunktion hat die Form $\begin{eqnarray*} B(t)=b \cdot a ^t \end{eqnarray*}$

Setze die beiden gegebenen Punkte in die obige Funktionsgleichung ein und löse das dadurch entstehende Gleichungssystem.

03.04.2020, 00:46

Ulrich Ruhnau

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RE: Exponentielles Wachstum und Abnahme

Zitat:

verbessertes Original von ArdaG
Meine Frage:
Hallo kann mir jemand bei einer Aufgabe helfen wo es um exponentielles Wachstum geht in einer Tabelle
$\begin{eqnarray*} \begin{array}<br /> 1 & t : & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 8 \<br /> & B(t): & & & 6{,}3 & & & 8{,}99\<br /> 2 &t : & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 8\<br /> & B(t): & & 8800 & & & & 480\end{array} \end{eqnarray*}$

Wie rechnet man jetzt den wert für B(t) aus aber bitte ausführlich

Wir gehen in beiden Fällen von der Gleichung $\begin{eqnarray*} B(t)=B(0)\cdot a^t \end{eqnarray*}$ aus.

Praktischer wird die Gleichung, wenn wir auf beiden Seiten den Logarithmus nehmen.

$\begin{eqnarray*} \ln B(t)=\ln \left(B(0)\cdot a^t\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln B(t)=\ln B(0)+\ln a^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln B(t)=\ln B(0)+t\ln a \end{eqnarray*}$

Für Punkt A haben wir mit $\begin{eqnarray*} B(2)=6{,}3 \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \ln 6{,}3=\ln B(0)+2\ln a\qquad\text{(1)} \end{eqnarray*}$

Und für Punkt B haben wir mit $\begin{eqnarray*} B(8)=8{,}99 \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \ln 8{,}99=\ln B(0)+8\ln a\qquad\text{(2)} \end{eqnarray*}$

Ab hier mußt Du nur noch die beiden Gleichungen (1) und (2) nach $\begin{eqnarray*} \ln B(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln a \end{eqnarray*}$ auflösen. Dann kann man daraus $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(0) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

03.04.2020, 01:55

klauss

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RE: Exponentielles Wachstum und Abnahme
Ein Gleichungssystem mit Logarithmen lösen fände ich nicht so praktisch und für Schüler eher furchteinflößend, zumal man den Logarithmus später wieder loswerden will. Hinzukommt, dass exponentielle Verläufe auch durchgenommen werden, wo speziell die Zahl $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ nicht zum Stoff gehört.
Hier geht es ja auch ohne:

$\begin{eqnarray*} I) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 8,99=b \cdot a^{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 6,3=b \cdot a^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8,99}{6,3}=\frac{b \cdot a^{8}}{b \cdot a^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ... a= ? \end{eqnarray*}$

03.04.2020, 02:06

Ulrich Ruhnau

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RE: Exponentielles Wachstum und Abnahme
Du hast vollkommen recht. Freude

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