Eigenschaften von Funktionen

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Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Funktionen
Hallo miteinander

Ich hätte einige Fragen zu speziellen Funktionen:

lineare Funktionen:
- kann man etwas über Nullstellen sagen, ausser dass es sicher eine gibt und sie bei (x / 0) liegt?
- Extremalpunkt gibt es nicht, oder?
- Asymptote gibt es nicht, oder?


quadratische Funktionen:
- ist der Definitionsbereich wirklich R?
- der Wertebereich ebenfalls R ?
- kann man etwas über Nullstellen sagen, ausser dass es entweder 0, 1, oder 2 gibt?
- kann man etwas über Asymptoten sagen?
- solche Funktionen sind nicht bijektiv, oder?


Potenzfunktionen (falls n ungerade ist bei y = x^n):
- gibt es einen Extremalpunkt?
- was kann man über Asymptoten sagen?
- was lässt sich über die Monotonie sagen?


Wurzelfunktion:
- ist bei (0/0) ein Minimum?
- gibt es Asymptoten?
- die Funktion ist bijektiv, oder?


Kehrwertfunktion:
- hat diese Funktion ein Extremalpunkt?


Logarithmusfunktion:
- Ist der Definitionsbereich wirklich R^+ (also alle positiven Zahlen, ausser 0)
- der Wertebereich ist R, oder?


Vielen Dank für die Kommentare!
Ich bin gerade am Vorbereiten für eine Prüfung, da möchte ich gerne alle Eigenschaften kennen. smile
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Funktionen
Zitat:
beantwortetes Original von Thomas007
Hallo miteinander

Ich hätte einige Fragen zu speziellen Funktionen:

lineare Funktionen:
- Extremalpunkt gibt es nicht, oder? nein
- Asymptote gibt es nicht, oder? nein

quadratische Funktionen:
- kann man etwas über Asymptoten sagen? es gibt keine

Kehrwertfunktion:
- hat diese Funktion ein Extremalpunkt? nein

Logarithmusfunktion:
- Ist der Definitionsbereich wirklich R^+ (also alle positiven Zahlen, ausser 0) solange man nicht im Komplexen rechnet, ja

Die Fragen, die ich weggelassen habe, lassen sich nur beantworten, wenn man den Fall kennt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle dir, wenn möglich, zu der jeweiligen Funktion immer den Graphen vor.
Dann wird die Geschichte etwas anschaulicher.
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Bei der linearen Funktion gibt es einen Fall, bei dem es keine Nullstelle gibt:

f(x) = c (const. )

und einen Fall mit unendlich vielen Nullstellen, welchen?
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Die quadratische Funktion hat (im Graphen) die Form einer Parabel, die entweder nach oben oder unten geöffnet ist.
Von Bedeutung ist die Lage deren Scheitels.
Damit kannst du die Frage des Wertebereiches klären, und auch, ob Bijektivität vorliegt oder nicht und ob es Asymptoten geben kann.
----------

Analog auch über Potenz- und Wurzelfunktionen. Diese beiden sind zueinander invers.
Die von dir angegebene Potenzfunktion (mit ungeradem n) hat (nur) einen Wendepunkt. Warum?
----------

Was verstehtst du unter Kehrwertfunktion?
----------

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Es ist von Vorteil, diese wichtige Funktion zuerst zu betrachten.
Ansonsten hast du die Eigenschaften der Logarithmusfunktion hinsichtlich Definitions- und Wertebereich richtig angegeben.
----------

Hinweise:
- Ganzrationale Polynomfunktionen (Potenzfunktionen) und auch die Wurzelfunktion haben parabelförmige Graphen und besitzen demnach keine Asymptoten.
- Asymptoten sind kennzeichnend für Hyperbelfunktionen. Eine einfache Hyperbelfunktion ist f(x):= 1/x ()
----------

EDIT: Ich war 6 Minuten später dran als Ulrich. Da ich schon so viel geschrieben hatte, habe ich den Post dennoch abgesendet.

@Ulrich:
Bitte nicht streotyp diese Fragen mit ja/nein beantworten. Denn damit wird der Fragesteller nicht viel anfangen können, wenn er den Grund nicht kennt.
Er sollte diese Fragen mittels der von uns gegebenen Hinweise selbst so erarbeiten, dass für ihn die Antworten auf der Hand liegen.

mY+
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Stelle dir, wenn möglich, zu der jeweiligen Funktion immer den Graphen vor.
Dann wird die Geschichte etwas anschaulicher.
----------
@Ulrich:
Bitte nicht streotyp diese Fragen mit ja/nein beantworten. Denn damit wird der Fragesteller nicht viel anfangen können, wenn er den Grund nicht kennt.
Er sollte diese Fragen mittels der von uns gegebenen Hinweise selbst so erarbeiten, dass für ihn die Antworten auf der Hand liegen.

Ich würde mal sagen: Diese Art der Prüfungsvorbereitung, die darin besteht, allgemeine Fragen zu stellen, ist überhaupt nicht effizient. Besser wäre es, einen Stapel Übungsaufgaben samt Musterlösung durchzuarbeiten. Lehrer
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo miteinander

Vielen Dank für eure Antworten!

Die Kehrwertfunktion haben wir definiert als f(x) = 1/x.

Eine Frage hätte ich noch, ansonsten habt ihr mir alles beantworten können smile :
Bei der Wurzelfunktion f(x) = sqrt(x), kann man da sagen, dass sie bei (0/0) ein Minimum hat?

Danke euch und einen schönen Tag!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, allerdings ein absolutes Minimum.
Im Unterschied zu einem relativen Minimum ist dort die erste Ableitung nicht Null (es existiert keine horizontale Tangente).

mY+
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt so, als sei allgemein das Kennzeichen eines absoluten Extremums, daß dort die Ableitung nicht 0 ist, auch wenn das, auf den konkreten Fall bezogen, natürlich richtig ist. Ich würde da eher von einem Randextremum sprechen.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau die Thematik der Terminologie trifft den Kern meiner Frage.
Also ist es nicht falsch, wenn ich sage, dass bei (0,0) ein absolutes Minium existiert?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Ableitung kann man nur feststellen, ob die Steigung irgendwo 0 ist.

1. Für die Untersuchung der lokalen Extrema prüft man, ob in einem inneren Punkt des Definitionsbereich die Ableitung 0 wird. Dann wird nach den üblichen Kriterien untersucht, ob dort ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder keines von beiden vorliegt, wie es bei einem Sattelpunkt der Fall ist.
In deinem Beispiel ist der Definitionsbereich , die inneren Punkte bilden das Intervall .

2. Zur Untersuchung globaler Extrema muß man die Randstellen miteinbeziehen. In deinem Beispiel ist das nur die Stelle . Die globalen Extrema sind nun unter den lokalen Extrema und den Randwerten zu suchen. Einfach die Funktionswerte miteinander vergleichen. Ein globales Extremum muß also nicht am Rand liegen, wie man den Beitrag von mYthos bei Überinterpretation mißverstehen könnte.
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