Monoton fallende Funktion 1/x

03.04.2020, 13:12

Thomas007

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Monoton fallende Funktion 1/x

Hallo zusammen

Wenn ich den Definitionsbereich wie folgt einschränke: D = R \ {0}, dann kann ich sagen, dass die Funktion auf ganz D monoton fällt, oder?

Zudem: Was kann man allgemein über den Definitionsbereich und den Wertevorrat von Umkehrfunktionen sagen?

Danke herzlich! smile

smile

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

03.04.2020, 13:22

Iorek

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Eine Funktion ist monoton fallend, wenn (anschaulich) die Funktionswerte immer kleiner bzw. zumindest nicht größer werden, wenn man auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse immer weiter "nach rechts" geht. Jetzt guck dir mal an, was bei $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ passiert und ob das zu einer monoton fallenden Funktion passt.

03.04.2020, 13:30

Leopold

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Von Monotonie darf man nur auf Intervallen sprechen. $\begin{align*} \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} = (- \infty,0) \cup (0,\infty) \end{align*}$ ist kein Intervall. Auf dieser Menge ist der Begriff der Monotonie nicht definiert.

03.04.2020, 13:40

Iorek

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@Leopold, Monotonie lässt sich doch wunderbar für Funktionen $\begin{eqnarray*} f: D\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} D\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ definieren. Warum sollte man nur Intervalle zulassen?

03.04.2020, 13:50

Leopold

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Die Vorstellung ist doch, daß man in einem stetigen Übergang von einem $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ links zu einem $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ rechts wandern kann und dabei die Funktionswerte kontinuierlich steigen oder fallen. Im übrigen gelten alle klassischen Sätze, die die Monotonie mit der Ableitung verbinden, nur auf Intervallen. Ich habe das auch noch nirgendwo gesehen, daß man zum Beispiel die Funktion

$\begin{align*} f: (-\infty,-1] \cup [0,\infty) \to \mathbb{R} \, , \ \ f(x) = x \end{align*}$

als streng monoton wachsend aufgefaßt hätte. Alle mir bekannten Bücher verbinden die Monotonie schon in der Definition mit Intervallen.

03.04.2020, 14:00

Iorek

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Wenn du das mit der Ableitung zusammen betrachtest, ok, aber Monotonie lässt sich ja auch für nicht-differenzierbare bzw. nicht-stetige Funktionen definieren (und ich kann dir diverse Bücher zeigen, in welchen das auch so gemacht wird). Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend, wenn für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x)\geq (y) \end{eqnarray*}$ ist.

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03.04.2020, 14:04

Leopold

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Damit wir nicht aneinander vorbeireden: Wir sprechen von Funktionen im klassischen Sinn, nicht von Folgen oder so etwas. Mit Differenzierbarkeit, Stetigkeit und so weiter hat der Begriff der Monotonie in der Tat zunächst nichts zu tun, aber mit Intervall. Dein $\begin{align*} D \end{align*}$ , was soll das sein? Ich denke, ein Intervall.

03.04.2020, 14:12

Thomas007

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Damit das nicht ausartet...zurück zu meiner Frage betreffend 1/x.

Ja, die Funktionswerte werden überall kleiner, je weiter ich nach rechts gehe (ausser eben bei x=0). D.h. die Funktion ist überall monoton fallend, ausser bei x=0. Richtig?

03.04.2020, 14:30

Iorek

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Ja, ich rede von einer klassischen reellwertigen Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} D\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt ein Intervall sein muss. Ich hab gerade nicht meine ganzen Bücher im HomeOffice griffbereit, aber im Forster, Analysis 1 (10. Auflage von 2011) wird die Monotonie auf S. 117 genau so eingeführt. Fritzsche führt es in seinem Grundkurs Analysis (3. Auflage von 2020) auf Seite 44 ebenfalls für allgemeine Mengen $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein. Ich gucke gleich nochmal im schönen dicken Wälzer "Mathematik" von Arens et. al. nach, dafür muss ich aber aufstehen und gucken wo ich den hingelegt haben.

@Thomas007, dann guck dir die Funktionswerte nochmal genau an, ist $\begin{eqnarray*} f(-1)=\ldots \end{eqnarray*}$ größer oder kleiner als $\begin{eqnarray*} f(1)=\ldots \end{eqnarray*}$ ? Wenn die Funktion monoton fallend wäre, müsste es ja kleiner werden. Deine Aussage "sie ist überall monoton fallend außer bei x=0" ergibt insofern keinen Sinn. Die Funktion ist dort nicht definiert, also kann sie auch keine Eigenschaften haben. Und wenn sie überall monoton fallend ist, du aber diverse Ausnahmen formulierst, dann ist sie vielleicht doch nicht überall monoton fallend. In diesem Fall könnte man eher darüber nachdenken, ob man vielleicht die maximalen Monotoniebereiche bestimmen will.

Nachtrag: In "Mathematik" (3. Auflage von 2015) auf Seite 202 findet sich ebenfalls diese Definition der Monotonie.

03.04.2020, 15:07

Leopold

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Dann ist das wohl so, und du hast recht. Ich widerspreche zwar nur ungern der versammelten Gesellschaft aller renommierten Lehrbuchautoren, aber ich halte diese Definition auf beliebigen Mengen nicht für zweckmäßig. Ich glaube auch nicht, daß es sinnvolle Anwendungen außerhalb von Intervallen gibt. Aber was alles sinnvoll ist, darüber kann man ja auch streiten.
Die bekannten Sätze über die Bedeutung der 1. Ableitung für die Monotonie einer Funktion funktionieren aber nur auf Intervallen. Ich glaube, zumindest in diesem Punkt sind wir uns einig.

03.04.2020, 15:40

Thomas007

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Ah, ich habe natürlich meine Aufgabe nicht korrekt widergegeben.

Ich sollte den Definitionsbereich bestimmen, wo 1/x monoton fällt.

Dann wäre das doch zum einen entweder im folgenden Bereich: D = R^{-} (also im negativen, reellen Bereich ohne 0)
oder aber in: D = R^{+} (also im positiven, reellen Bereich ohne 0).

Jedoch nicht in beiden gleichzeitig, wie du mich eben darauf hingewiesen hast.

03.04.2020, 15:53

Leopold

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Zitat:

Original von Thomas007
Ich sollte den Definitionsbereich bestimmen, wo 1/x monoton fällt.

Wirklich? Ich würde die Aufgabe so formulieren: Bestimmen Sie größtmögliche Intervalle, in denen f streng monoton fällt.

@ Iorek

Die sehr allgemeine Definition in den Lehrbüchern erspart es den Autoren, wenn Folgen kommen, dort die Monotonie noch einmal gesondert zu definieren. Sie können sagen: $\begin{align*} D = \mathbb{N} \end{align*}$ . Vielleicht ist das der Sinn der Sache.

03.04.2020, 16:00

Iorek

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@Thomas007 meinst du wirklich Definitionsbereich, nicht eher die Monotoniebereiche?

Zitat:

Original von Leopold
Dann ist das wohl so, und du hast recht. Ich widerspreche zwar nur ungern der versammelten Gesellschaft aller renommierten Lehrbuchautoren, aber ich halte diese Definition auf beliebigen Mengen nicht für zweckmäßig.

Zu deiner Ehrenrettung (was angesichts deines enormen Fachwissens eigentlich gar nicht nötig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

): ich habe nochmal etwas weiter gestöbert und bin bei Blatter, Analysis I, dritte Auflage von 1980 auf ein Buch gestoßen, was deine Definition auf Intervallen bestätigt. Auf Seite 136 schreibt Blatter:

Zitat:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f: I\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt monoton wachsend, wenn aus $\begin{eqnarray*} x,y\in I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(y) \end{eqnarray*}$ .

Zur Bedeutung des $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ findet man zwei Seiten weiter vorne:

Zitat:

Es folgen einige Sätze über reelle Funktionen. Im ganzen Rest dieses Kapitels bezeichnet $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein beliebiges nicht leeres Intervall.

03.04.2020, 18:49

Thomas007

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Nein, es steht: "Wählen Sie den Definitionsbereich von f(x) = 1/x derart, dass die Funktion monoton fällt."

Da wäre meine Lösung doch schon richtig, nicht?

03.04.2020, 19:03

Leopold

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Auch wenn du es nicht für möglich hältst, das ist der Unterschied zwischen "wo" und "derart, dass". Die Aufgabe ist dennoch nicht eindeutig formuliert. Du kannst jedes Intervall (einverstanden, Iorek?) nehmen, das die 0 nicht enthält, und schon hast du die Aufgabe gelöst, also zum Beispiel $\begin{align*} D = [-2020,-333] \end{align*}$ . Aber du spürst instinktiv, daß die Aufgabensteller mehr wollen. Da fehlt in der Aufgabe irgendwie ein "maximal". In diesem Sinne gäbe es dann nur zwei Lösungen, und zwar deine.

03.04.2020, 19:37

Thomas007

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Ok, vielen Dank für die Bestätigung! smile

smile

Und noch was: Was kann man (allgemein gültig und ganz generell) über Definitionsbereich und Wertevorrat von Umkehrfunktionen sagen?

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