Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor

04.04.2020, 11:55

Marcus.Hentschel

Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor

Meine Frage:
Hallo, ich habe mich angesichts der aktuellen Corona Diskussionen gefragt wie die beiden Zahlen a) täglicher exponentieller Wachstumsfaktor bei den Corona Infektionen" und die b) Reproduktionszahl R(0) zusammenhängen.

Meine Ideen:
R(0) ist ja bestimmt von der durchschnittlichen Zahl der Kontakte pro Tag * Übertragungswahrscheinlichkeit * Dauer der Infektösität in Tagen. Klar ist (denke ich) wenn R(0) = 1 dann bleibt die Zahl der Infizierten stets gleich hoch, da auf einen Neu-Infizierten jeweils ein Gesundeter kommt. Wenn ich eine Basis-Reproduktionszahl von 2 habe, heißt das ja, dass innerhalb des Infektösitätszeitraums (=Zeit in der ich als Infizierter andere anstecken kann) von 10 Tagen aus einem Kranken, der selbst gesundet, 2 neue werden. Dann heißt, bei einem R(0) = 2 habe ich eine Verdoppelung innerhalb von 10 Tagen, was einem täglichen Wachstum von 7,177 % entspricht. Ist das so richtig?

04.04.2020, 12:14

G040420

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor
Ja.
q^10= 2
q= 2^(1/10) = 1,07177

q= 1+p/100 -> p= 7,177

04.04.2020, 12:36

Marcus.Hentschel

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor
Danke, die Formel kenn ich. Aber stimmt die Grundlogik der Herleitung dahinter?

04.04.2020, 12:46

Huggy

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor

Zitat:

Original von Marcus.Hentschel
Dann heißt, bei einem R(0) = 2 habe ich eine Verdoppelung innerhalb von 10 Tagen, was einem täglichen Wachstum von 7,177 % entspricht. Ist das so richtig?

Das ist nicht richtig. In die Basisreproduktionszahl $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ geht nicht ein, welcher Anteil der Bevölkerung schon immun ist. Sie bestimmt also nur das momentane exponentielle Wachstum, wenn noch niemand immun ist. Wenn schon ein Anteil $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der Bevölkerung immun ist, bestimmt die Nettoreproduktionszahl $\begin{eqnarray*} R_t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_t=R_0(1-k) \end{eqnarray*}$

das momentane exponentielle Wachstum. Zu Beginn einer Epidemie ist allerdings $\begin{eqnarray*} R_t \approx R_0 \end{eqnarray*}$ .

04.04.2020, 13:11

Marcus.Hentschel

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor
Danke für den Hinweis zur Nettoreproduktionsrate. Mir gehts zunächst um den grundlegenden Zusammenhang, also sagen wir einfach, wir sprechen von Rt.
Oder anders herum gefragt. Wenn von Verdoppelungszeit in den Medien die Rede ist (A. Merkel: Man muss die Verdoppelungszeit auf 15 Tage herunterbringen), könnte ich ja auch umrechnen auf die effektive Basisreproduktionszahl - auf Grundlage der Infektiösität von 10 Tagen - sagen: Also
Rt = 2^(1/15)^10 = 2^(10/15) = 1,587 bei einem täglichen Wachstumsfaktor von 2^(1/15) -1 = 4,7 %.
Stimmt das? Die Quelle hierzu, u.a. zum Thema Infektiösität (10 Tage)
"Modellierung von Beispielszenarien der SARS-CoV-2-Epidemie 2020 in Deutschland"

04.04.2020, 13:41

Huggy

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor
Das passt.

04.04.2020, 14:45

Marcus.Hentschel

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor
Danke Wink Freude

D.h., könnte man verallgemeinern: Rt=q^(x/y)

q = Wachstumsfaktor (z.B. 2 bei Verdoppelungszeit)
x = Dauer der Infektiösität (laut Quelle 10 Tage)
y = Tagen bis der Wachstumsfaktor erreicht ist

Ziel der Maßnahmen (Kontaktbeschränkung, Mundschutz, Händewaschen...) ist also, wenn q>1, dass y immer größer oder im Idealfall sogar negativ wird. Ein negatives y führt im Falle eines q >1 dazu, dass die Basisreproduktionsrate unter 1 gebracht wird, was ja das Ziel sein muss, zumindest bis der Impfstoff entwickelt ist.

(Ein negatives y steht für die Dauer bis q sich umkehrt, also bei Verdoppelungszeit q=2 steht ein negatives q für die Halbierungszeit)

Könnte man das so sagen?

04.04.2020, 15:18

Huggy

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor
Ja.

Aber allmählich verstehe ich nicht mehr, was deine Frage ist! Du bringst dieselbe Beziehung in verschiedene Formen und fragst, ob sie dann noch richtig ist? Weshalb sollte sie falsch werden, wenn die Umformungen korrekt sind?

04.04.2020, 15:40

Marcus.Hentschel

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RE: Corona-Virus: Zusammenhang Reproduktionszahl (R0) und täglicher Wachstumsfaktor
Danke Huggy.
Ich weiß, für Dich war das Erste sofort logisch und alles weitere insofern eigtl. überflüssig. Ich wollte eigentlich nur nochmal sichergehen, ob die Zusammenhänge stimmen. Das eine sind die math. Zusammenhänge und das andere, was sind die Stellschrauben um mehrere Szenarien zu rechnen.

04.04.2020, 16:24

Finn_

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Also du willst die Verdopplungszeit in Abhängigkeit der Reproduktionszahl haben bzw. umgekehrt.

Das SIR-Modell ist das einfachste epidemiologische Modell das eine mehr oder weniger näherungsweise Beschreibung der Pandemie liefern kann. Die Ausbreitung verläuft demnach gemäß diesem nichtlinearen System von zwei Differentialgleichungen:
$\begin{eqnarray*} S' = -\beta SI, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I' = \beta SI-\gamma I. \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} S'(t),I'(t) \end{eqnarray*}$ sind die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} S,I \end{eqnarray*}$ nach der Zeit gemeint. Es gibt da noch eine dritte Differentialgleichung, die ist aber redundant und daher jetzt nicht so wichtig.

Nun haben wir ja keine Ahnung davon, wie man so eine Differentialgleichung löst. Brauchen wir allerdings auch nicht. Wir können da leicht Beziehungen der Parameter zur Wachstumskonstante $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und zur Basisreproduktionszahl $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ raussaugen.

Für die effektive Reproduktionszahl gilt $\begin{eqnarray*} R_q := R_0 S \end{eqnarray*}$ . Nun bedeutet $\begin{eqnarray*} R_q=1 \end{eqnarray*}$ nichts anderes als $\begin{eqnarray*} I'=0 \end{eqnarray*}$ . Also
$\begin{eqnarray*} I'=0\iff \beta SI = \gamma I\iff \beta S=\gamma\iff \beta = \frac{\gamma}{S}. \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} S=R_1/R_0=1/R_0 \end{eqnarray*}$ macht das
$\begin{eqnarray*} \beta = R_0\gamma. \end{eqnarray*}$

Am Anfang der Epidemie ist $\begin{eqnarray*} S\approx 1 \end{eqnarray*}$ . Setzen wir $\begin{eqnarray*} S=1 \end{eqnarray*}$ ein, ergibt das
$\begin{eqnarray*} I'=\beta I-\gamma I = (\beta-\gamma)I. \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} I'=\lambda I \end{eqnarray*}$ aber die elementare Differentialgleichung für die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} I(t)=I(0)e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ . Also haben wir
$\begin{eqnarray*} \lambda = \beta-\gamma = R_0\gamma-\gamma = (R_0-1)\gamma. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ wurden vor der Quarantäne Werte von 2 bis 3 abgeschätzt. Für die Verdopplungszeit gilt $\begin{eqnarray*} T_2=\frac{\ln 2}{\lambda} \end{eqnarray*}$ . Wir kommen zu
$\begin{eqnarray*} \gamma = \frac{\ln 2}{(R_0-1)T_2}. \end{eqnarray*}$

Damit können wir nun die aktuelle Reproduktionszahl abschätzen:
$\begin{eqnarray*} \tilde R_0 = 1+\frac{\tilde\lambda}{\gamma} = 1+\frac{(R_0-1)T_2}{\tilde T_2}. \end{eqnarray*}$
Das notwendige $\begin{eqnarray*} \tilde R_0<1 \end{eqnarray*}$ bekommen wir mit Merkels $\begin{eqnarray*} \tilde T_2 \end{eqnarray*}$ von 15 Tagen leider nicht. Auch nicht für $\begin{eqnarray*} \tilde T_2\to\infty. \end{eqnarray*}$

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